Gerak Peluru
Level 1: Mengingat
Soal 1) Mengapa gerak peluru disebut juga gerak parabola?
Jawab
Karena lintasan peluru dapat dinyatakan dengan fungsi parabola \(y = A x^2 + b x + C\)
Soal 2) Sebuah peluru ditembakkan dengan lahu awal \(v_0\) dan sudut elevasi \(\theta\). Berapa komponen kecepatan awal arah x (horisontal) dan arah y (vertikal)?
Jawab
Horisontal
\(v_{0x} = v_0 \cos \theta \)Vertikal
\(v_{0y} = v_0 \sin \theta\)Sebuah peluru ditembakkan dengan lahu awal \(v_0\) dan sudut elevasi \(\theta\). Berapa komponen kecepatan arah x (horisontal) dan arah y (vertikal) tiap saat?
Jawab
Horisontal: GLB
\(v_x = v_0 \cos \theta\)Vertikal: GLBB dengan percepatan ke bawah (gravitasi)
\(v_y = v_{0y} – g t\)\(= v_0 \sin \theta – g t\)Level 2: Memahami
Level 2:
Soal 1) Buktikan bahwa persamaan lintasna peluru merupakan fungsi parabola
Jawab
\( x = v_0 \cos \theta \times t\)atau
\(t = x/(v_0 \cos \theta) \)\(y = y_0 + v_0 \sin \theta \times t – (1/2) g t^2\)\(= y_0 + v_0 \sin \theta \times (x/(v_0 \cos \theta)) – (1/2) g (x/(v_0 \cos \theta))^2\)\( = y_0 + (\sin \theta/ \cos \theta) x – (1/2) (g/(v_0 \cos \theta)^2) x^2\)Tampak bahwa
\( A= – (1/2) (g/(v_0 \cos \theta)^2)\)\( B = \sin \theta/ \cos \theta = \tan \theta \)\( C = y_0 \)Level 3: Mengaplikasikan
Soal 1) Joko melontarkan katapel dengan sudut elevasi \(45^o\). Peluru katepel jatuh pada arah mendatar sejauh \(50\) meter. Berapa laju awal peluru katapel? (gunakan \(g = 10\) m/s^2)
Jawab
\(R = v_0^2 \sin (2 \theta)/g\)\(50 = v_0^2 \sin(2 \times 45^o)/10\)\( v_0^2=500\)\(v_0 = \sqrt{500}= 22,4\) m/s.
Soal 2) Tinggi ring basket adalah 3 m dan jarak horisontal ring ke posisi lemparan bebas adalah 5,8 m. Dadang melakukan lemparan bebas dengan laju awal 20 m/s dan puncak lintasan bola tepat berada pada ring. Posisi bola dari lantai saat dilepas adalah 1,8 m. Berapa sudut elevasi lemparan? (g = 10 m/s^2)
Jawab
Tinggi puncak lintasan ke posisi lemparan
\( y = 3 – 1,8 = 1,2\) m.
\( v_0^2 \sin^2 \theta = 2 g y \)\( 20^2 \sin^2 \theta = 2 \times 10 \times 1,2\)\( 400 \sin^2 \theta = 24\)\( \sin^2 \theta = 24/400 = 0,06\)\( \sin \theta = \sqrt{0,06}=0,245\)\(\theta = 14^o \).
Soal 3) Air terjun tertinggi di dunia adalah Angel Falls yang berada di Bolivar, Venezuela dengan ketinggian 979 m. Misalkan laju arah horisontal air sebelum jatuh adalah 0,5 m/s, berapa pergesaran haorisontal air di dasar?
Jawab
Lama waktu air jatuh
\(t= \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 979 /10} = 14\) s.
Perpindahan arah horisontal
\(R = 0,5 \times 14 = 7\) m.
Soal 4) Selang air yang sedang digunakan untuk menyiram rumput diarahkan membentuk sudut \(30^o\) terhadap arah horisontal. Air keluar dari ujung selang dengan laju 8 m/s. Berapa rakat tempuh maksimum arah horisontal air?
Jawab
\(R=v_0^2 \sin(2 \theta)/g\)\(= 8^2 \sin (2 \times 30)/10\)\(= 64 \times 0,866/10 = 5,5\) m.
Soal 5) Berapa perbandingan arah horisontal dan tinggi maksimum peluru yang ditembakkan dengan sudut \(\theta\) sembarang?
Jawab
Jarak horisontal
\( R = 2 v_0^2 \cos \theta \sin \theta/g \)Tinggi maksimum
\( H = v_0^2 \sin^2 \theta/2g\)Maka
\(R/H = 4 \cos \theta/ \sin \theta\)Soal 6) Berapa perbandingan jarak terjauh peluru yang ditembakkan dari senapan yang sama para sudut elevasi \(30^o\) dan \(45^o\)?
Jawab
Jarak terjauh memenuhi
\(R = v_0^2 \sin 2 \theta/g\)Maka
\(R_1/R_2 = \sin (2 \times 30^o) /\sin (2 \times 45^o)\)\(= \sin 60^o /\sin 90^o = \sqrt{3} /2\)Soal 7) Berapa perbandingan ketinggian maksimum peluru yang ditembakkan dari senapan yang sama pada sudut elevasi \(60^o\) dan \(30^o\)?
Jawab
Ketinggian maksimum
\(H = v_0^2 \sin^2 /2g\)Maka
\(H_1/H_2 = \sin^2 60^o /\sin^2 30^o\)\( = (\sqrt{3}/2)^2/(1/2)^2 =3 \)Soal 8) Pada satu pipa air minum ada satu kebocoran. Air muncrat dengan sudut kemiringan \(60^o\). Air tersebut mengenai tembol pada jarak 2 m dan ketinggian 1 meter. Berapa laju keluar air?
Jawab
Hubungan antara jarak vertikal damn horisontal merupakan persamaan parabola, yaitu
\( y = -{g \over {2 v_0^2 \cos^2 \theta}} x^2 + \tan \theta \times x \)\( 1 = -{10 \over {2 v_0^2 \cos^2 60^o}} 2^2 + \tan 60^o \times 2 \)\( 1 = – {80 \over v_0^2} + 2 \sqrt{3} \)\({80 \over v_0^2} = 2 \sqrt{3} -1 = 2,5\)\(v_0 = \sqrt{80/2,5}=5,7\) m/s
Soal 9) Peluru M829A1 yang digunakan pada tank Abrams memiliki kecepatan lontar \(1.575\) m/s. Jika ada musuh yang berjarak \(10\) km, hitung:
a) Berapa sudut penembakan tank tersebut?
b) Berapa lama peluru berada di udara?
Jawab
a)
\(R = v_0^2 \sin 2 \theta/g\)\(10.000 = 1.575^2 \sin 2 \theta /10\)\(\sin 2 \theta = 100.000/2.480.625 = 0,04\)\(2 \theta =2,3^o\)\(\theta = 1,15^o\)b) Lama peluru berada di udara
\(t = R/v_0 \cos \theta\)\(= 10.000/(1.575 \cos (1,15^o)) = 6,35\) s.
Soal 10) Doddy menendang bola dengan sudut elevasi diperkirakan \(37^o\). Bola jatuh pada jarak 20 m dari posisi tendangan. Berapa laju bola saat ditendang?
Jawab
\(R = 2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta/g\)\(20 =2 v_0^2 \sin 37^o \cos 37^o/10\)\(20 = 2 v_0^2 (3/5) \times (4/5)/10\)\(20 = (24/250) v_0^2\)\(v_0^2 = 208\)\(v_0 = 14,4\) m/s
Soal 11) Burj Khalifa di Dubai adalah gedung tertinggi di dunia dengan ketinggian 828 m. Ketinggian laintai teratas adalah 585,4 m. Jika sebuah koin dilemparkan arah hoirisontal dari lantai teratas dengan laju 2 m/s, berapa jarak horisontal tempat koin jatuh dari dasar menara?
Jawab
Lama koin melayang di udara:
\(t = \sqrt{2 h/g} = \sqrt{2 \times 585,4 /10} = 11\) detik
Jarak arah horisontal di tanah
\(R = v_0 \ t = 2 \times 11 = 22\) m.
Soal 12) Pemain mengoper bola basket ke temannya dengan laju awal 10 m/s dan sudut elevasi 30o. Berapa laju bola basket saat di puncak lintasan?
Jawab
Laju di puncak lintasan = laju arah horisontal saja, yaitu
\(v_0 cos \theta = 10 \cos 30^o\)\( = 10 \times \sqrt{3}/2 = 5 \sqrt{3}\) m/s
Soal 14) Peluru senapan AK-47 keluar dari moncong dengan laju 700 m/s. Agar peluru terbang dalam waktu lebih dari 30 detik
a) Berapakah sudut elevasi tembakan?
b) Waktu untuk peluru mencapai tanah kembali adalah
Jawab
a)
\( t = 2 v_0 \sin \theta/g\)\(\sin \theta = g t /2 v_0\)Jika peluru terbang selama 30 detik maka
\( \sin \theta = 10 \times 30/(2 \times 750) = 0,214\)atau
\(\theta = 12,4^o\)Agar peluru terbang lebih dari 30 detik maka sudut harus lebih besar dari \(12,4^o\).
Soal 15) Peluru ditembakkan saat t = 0 dari sebuah meriam dengan kecepatan awal
\(\vec{v_0} = 377 \hat{i} + 144 \hat{j}\) m/s
Selama terbang, peluru hanya mengalami percepatan gravitasi. Tentukan kecepatan peluru tiap saat.
sumber: https://youtube.com/watch?v=hAc1CnKqSyo
Jawab
Percepatan peluru
\(\vec{a} = – 10 \hat{j}\) m/s2
Pada saat t, perubahan kecepatan peluru adalah
\(\Delta \vec{v} = \vec{a} (t – 0)\)\(= – 10 t \hat{j}\) m/s
Kecepatan peluru tiap saat menjadi
\(\vec{v} = \vec{v_0} + \Delta \vec{v}\)\(= 377 \hat{i} + 144 \hat{j} – 10 t \hat{j}\)\(= 377 \hat{i} + (144 – 10 t) \hat{j}\) m/s
Level 4: Menganalisis
Soal 1) Kalian menembak arah horisontal sebuah buah yang digantung pada seutas benang dengan senapan mainan. Ketinggain buah dan senapan dari permukaan tanah sama. Jarak horisontal buah dan senapan adalah 25 m. Saat peluru ditembakkan dengan laju 30 m/s, benang pengikat buah juga dilepas sehingga buah bergerak jatuh bebas. Apakah peluru akan mengenai buah? Jika iya, di mana posisinya?
Jawab
Posisi buah tiap saat
\(x_1 = 25\) m
\(y_1 = (1/2) g t^2\) (ambil arah ke bawah positif)
Posisi peluru tiap saat
\(x_2 = v_0 t\)\(y_2 = (1/2) g t^2\)Peluru mengenai buah jika
\(x_1 = x_2\) dan \(y_1 = y_2\)
Kriteria pertama:
\(25 = v_0 t\)\(25 = 30 t\)\(t = 0,83\) s
Kriteria kedua:
\(y_1 = y_2\)\((1/2) g t^2 = (1/2) g t^2\) : selalu dipenuhi
Posisi buah dan peluru saat peluru mengenai buah
\(y = (1/2) g t^2 = (1/2) \times 10 \times 0,83 = 4,15\) m.
Soal 2) Pesawat pengebom Stealth Bomber dapat bergerak dengan laju maksimum 1.010 km/jam. Pesawat ini sering digunakan selama perang Kosovo tahun 90an untuk membon sejumlah target di Serbia. Misalkan pesawat tersebut sedang bergerak menukik ke atas dengan sudut elevasi \(45^o\) kemudian melepaskan bom dari ketinggian 1.500 m dari permukaan tanah. Tentukan waktu jatuh dan jangkauan horisontal boom.
Jawab
\(v_0 = 1.010\) km/jam \(= 1.010.000/3.600 = 281\) m/s
Ketinggian maksimal bom dari posisi dilepaskan
\(H = v_0^2 \sin^2 \theta / 2 g\)\(= 218^2 \sin^2 45 /(2 \times 10)\)\(= 1.974\) m
Waktu untuk mencapai puncak lintasan
\(t_1= v_0 \sin \theta /g\)\(= 281 \sin 45^o / 10 = 20\) s
Waktu jatuh dari posisi puncak
\(t_2 = \sqrt{2 \times (1.500 + 1.974)/10} = 26,4\) s
Lama bom berada di udara
\(t = t_1 + t_2 = 46,4\) s.
Jangkauan gorisonntal bom
\(R = v_0 \cos \theta \times t\)\(= 281 \times \cos 45^o \times 46,4 = 5.246\) m
Soal 3) Pesawat Boeing B-29 Superfortress yang diberi nama Enola Gay memembawa bom atom yang diberi kode Little Boy yang dijatuhkan di Hiroshima, Jepang tanggal 6 Agustus 1945. Pesawat menukik dari ketinggian 9.470 meter dan melepaskan bom saat ketinggian 600 di atas kota Hiroshima dan segera terbang menjauh. Laju Enola Gay adalah 546 km/jam. Misalkan saat bom dilepaskan, pesawat sedang bergerak mendatar, tentukan
a) Waktu yang diperlukan bom mencapai tanah
b) Jarak horisontal tempat jatuh bom dari posisi dilepaskan.
Jawab
a)
\(v_0 = 546\) km/jam \(= 546.000/3.600 = 152\) m/s
Lama bom berada di udara
\( t = \sqrt{2 h/g} = \sqrt{2 \times 600 / 10} = 11\) detik.
b)
\( R = v_0 t = 152 \times 11 = 1.672\) m
Soal 4) Seorang anak menembak bedil bambu dari atas balkon. Ketinggian moncong bedil dari permukaan tanah adalah 4 m. Laju keluar peluru dari bedil adalah 15 m/s dangan sudut elevasi 53o terhadap arah horisontal. Tentukan
a) Ketinggian maksimum peluru dari tanah
b) Lama terbang peluru
c) Jangkauan horisontal peluru dari saat menyentuh tanah.
Jawab
a)
Ketinggian maksimum lintasan peluru dari moncong bedil
[layex] h= v_0^2 \sin^ \theta /2 g[/latex]
\(=15^2 \sin^2 53^o /2 \times 10\)\( = 225 \times (4/5)^2/20 = 7,2\) m
Ketinggian dari permukaan tanah \(= 7,2 + 4 = 11,2\) m
Ketinggian peluru tiap saat
\(y= v_0 \sin \theta t – (1/2) g t^2\)Saat peluru menyentuh tahan, \(y = – 4\) m.
\(-4 = 15 \sin 53^o t – 5 t^2\)\(-4 = 12 t – 5 t^2\)\(5 t^2 – 12 t – 4 = 0\)Solusi yang memenuhi
\(t_1 = -0,3\) s
\(t_2 = 2,7\) s
Karena waktu harus positif maka kita memilih \(t_2 = 2,7\) s.
Jangkauan peluru arah horisontal
\(R = v_0 \cos \theta \times t_2 = 25 \cos 53^o \times 2,7\)\(= 30,4\) m.
Soal 5) Perhatikan video berikut ini. Tentukan laju awal dan sudut elevasi.
Jawab
Mencari \(t_1\) dan \(t_2\)
\(v_{y0} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10}\)\(= 14\) m/s
\(t_1 = v_{y0}/g\)\(= 14/10 = 1,4\) s
\(t_2 = t_1 = 1,4\) s
Mencari \(t_3\)
Kita selesaikan dengan Wolframalpha
Kita peroleh:
\(t_{31} = -3,84\) s
\(t_{32} = 1,04\) s
Karena waktu harus positif maka kita menggunakan \(t_{32} = 1,04\) s.
Waktu terbang total:
\(t = t_1 + t_2 + t_{32} = 3,84\) s
Kecepatan arah horisontal
\(v_{0x} = R/t = 40/3,84 = 10,4\) m/s
Sudut elevasi:
\(\tan \theta = v_{y0}/v_{x0} = 14/10,4 = 1,53\)\(\theta = 53,5^o\)laju awal:
\(v_0 = \sqrt{v_{x0}^2+v_{y0}^2} = 17,4\) m/s
Soal 6) Perhatikan video berikut ini. Bola pertama dilempar mendatar dengan laju = 10 m/s dari ketinggian 25 m. Bola kedua dilempar vertikal ke atas dari tanah yang memilki jarak horisontal 40 m dari lokasi bola pertama. Tentukan laju awal bola kedua agar dua bola bertabrakan di udara.
Jawab
Posisi bola pertama tiap saat
\(x_1 = v_{10} t\)\(y_1 = H – (1/2) g t^2\)Posisi bola kedua tiap saat
\(x_2 = R\)\(y_2 = v_{20} t – (1/2) g t^2\)Syarat tabrakan
\(x_1 = x_2\)\(y_1 = y_2\)Syarat pertama menghasilkan
\(v_{10} t = R\)Syarat kedua menghasilkan
\(H – (1/2) g t^2 = v_{20} t – (1/2) g t^2\)atau
\(v_{20} t = H\)Bagi dua persamaan dari dua syarat
\(v_{20}/v_{10} = H/R\)\(v_{20}/10 = 25/40\)\(v_{20} = 6,25\) m/s
Soal 7) Perhatikan video berikut. Benda dilempatkan mendatar dengan laju 25 m/s di atas bidang miring dengan sudut kemiringan terhadap arah horisontal sebesar 30o. Tentukan posisi benda menyentuh permukaan bidang miring
Jawab
Lihat gambar berikut
Bidang miring dinyatakan oleh persamaan
\( y_1 = m x_1 = \tan \alpha \times x_1\)Posisi benda tiap saat
\(x_2 = v_0 t\)\( y_2 = (1/2) g t^2\)\(= (1/2) g (x_2/v_0)^2 = (1/2) (g/v_0^2) x_2^2\)Benda menyentuh permukaan bidang jika
\(y_1 = y_2\)dan
\(x_1 = x_2\)Syarat pertama menghasilkan
\(\tan \alpha \times x_1 =(1/2) (g/v_0^2) x_2^2\)Terapkan syarat kedua, maka
\(\tan \alpha =(1/2) (g/v_0^2) x_2\)\(\tan 30^o = (1/2) (10/25^2) x_2\)Diperoleh
\(x_2 = 72\) m
\(x_1 = 72\) m
\(y_2 = y_1 = \tan 30^o \times 72 = 42\) m
Soal 8) Perhatikan video berikut ini. Sebuah bola ditmbakkan dengan laju awal \(v_0\) dan sudut elevasi \(\theta\) dari ketinggan \(H_1 = 10\) m. Pada saat bersamaan, sebuah balok dijatuhkan dari ketinggan \(H_2 = 18\) m pada jarak horisontal \(R = 20\) meter. Tentukan \(v_0\) dan \(\theta\) agar dua benda bertumbukan.
Jawab
Jawab
Posisi bola tiap saat:
\( x_1 = v_{10} \cos \theta \times t\)\(y_1 = H_1 + v_{10} \sin \theta \times t – (1/2) g t^2\)Posisi balok tiap saat:
\(x_2 = R\)\(y_2 = H_2 – (1/2) g t^2\)Syarat dua benda bertumbukan:
\(x_1 = x_2\)\(y_1 = y_2\)Syarat pertama menghasilkan:
\(v_{10} \cos \theta \times t = R\)Syarat kedua menghasilkan:
\(H_1 + v_{10} \sin \theta \times t – (1/2) g t^2 = H_2 – (1/2) g t^2\)atau
\(v_{10} \sin \theta \times t – (1/2) g t^2 = H_2 – H_1\)Bagi dua persamaan:
\(\sin \theta /\cos \theta = \tan \theta= (H_2 – H_1)/R\)\(= (18 – 10)/20 = 0,4\)\(\theta = 22^o\)Tumbuk harus terjadi sebelum benda menyentuh tanah.
Mari kita hitung kapan benda mencapai tanah.
Balok mencapai tanah jika:
\(0 = H_2 – (1/2) g t^2\)\( t = \sqrt{2 H_2/g} = \sqrt{2 \times 18/10} = 1,9\) s.
Dalam waktu 1,9 s, bola harus sudah melewati jarak \(R\). Jadi, laju awal minimal adalah
\(v_{10} = R/(\cos \theta \times t)\)\( = 20/(\cos (22^o) \times 1,9) = 11,4\) m/s.
Ini adalah laju awal minimum. Semua laju di atas 11,4 m/s akan menyebabkan tumbukan. Laju yang lebih kecil dari 11,4 m/s tidak menyebabkan tumbukan karena balok keburu menyenth tanah sebelom bola mencapai jarak R = 20 m.
