049: Fisika SMA: Posisi Pusat Massa

Dalam membahas gerakan sejumlah benda, kadang kita tertolong jika menggunakan konsep pusat massa. Misalkan kita memiliki beberapa partikel dengan massa \( m_1 \), \( m_2 \), dan \( m_3 \). Partikel-partikel tersebut berada pada posisi \( \vec{r}_1 \), \( \vec{r}_2 \), dan \( \vec{r}_3 \).  Pusat massa sistem tiga partikel tersebut didefinisikan sebagai

\( \vec{r}_{pm} = {{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + m_3 \vec{r}_3} \over {m_1 + m_2 + m_3 }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (49.1) \)

Jika benda berada dalam ruang tiga dimensi, maka kita mendapatkan koordinat-koordinat pusat massa yang memenuhi persamaan serupa, yaitu

\( x_{pm} = {{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3} \over {m_1 + m_2 + m_3 }} \)

\( y_{pm} = {{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3} \over {m_1 + m_2 + m_3 }} \)

\( z_{pm} = {{m_1 z_1 + m_2 z_2 + m_3 z_3} \over {m_1 + m_2 + m_3 }} \)

Pusat Massa Benda Besar

Jika kita memiliki sejumlah benda besar, bagaimana menentukan pusat massa sistem benda tersebut? Kita tetap bisa menggunakan persamaan (49.1). Contohnya, pada Gambar 49.2 kita memiliki dua cakram homogen dengan massa \( M_1 \) dan \( M_2 \). Jari-jari cakram-cakram tersebut adalah \( R_1 \) dan \( R_2 \). Kedua cakram berada dalam keadaan kontak. Di manakah letak pusat massa system dua bola tersebut?

Untuk mudahnya, kita anggap pusat cakram berjari-jari \( R_1 \) berada pada pusat koordinat. Maka lokasi pusat massa cakram berjari-jari \( R_1 \) adalah \( x_1 =0 \). Lokasi pusat massa cakram berjari-jari \( R_2 \) adalah \( x_2 = R_1 + R_2 \). Lihat Gambar 49.3.

Dengan demikian, lokasi pusat massa kedua cakram diukur dari pusat cakram pertama adalah

\( x_{pm} = {{M_1 x_1 + M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}} = {{M_1 \times 0 + M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}} = {{ M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (49.2) \)

Pusat Massa Benda yang Mengandung Lubang

Pusat massa benda yang mengandung lubang dapat pula ditentukan dengan rumus serupa. Lubang dapat dianggap sebagai benda yang memiliki massa negatif. Contoh pada Gambar 49.4 terdapat sebuah cakram homogen dengan jari-jari \( R_1 \)  dan massa awal \( M_1 \) (massa sebebelum adanya lubang). Pada cakram tersebut kemudian dibuat lubang dengan jari-jari \( R_2 \). Misalkan massa yang dibuang saat membuat lubang adalah \( M_2 \).

Pusat massa cakram berlubang ditentukan dengan menentukan pusat cakram asal dan pusat lubang. Misalkan pusat cakram asal diambil berimpit dengan sumbu koordinat dan pusat lubang berada pada jarak \( x_2 \) dari pusat cakram asal. Lokasi pusat massa memenuhi

\( x_{pm} = {{M_1 x_1 – M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}} = {{M_1 \times 0 – M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}} = -{{ M_2 x_2 } \over {M_1 + M_2}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (49.3) \)

Tampak pada persamaan di atas bahwa posisi pusat massa berharga negatif. Ini artinya, pusat massa berada di sebelah kiri sumbu koordinat.

*****************

Contoh 49.1

61 Cygni adalah sistem bintang kembar yang berevolusi mengelilingi pusat massa (Gambar 49.5). Sistem ini terdiri dari bintang 61 Cygni A dengan massa 0,7 kali massa matahari dan bintang Cygni B dengan massa 0,63 massa matahari. Jarak bintang Cygni A dari bumi adalah 11,406 tahun cahaya dan bintang Cygni B adalah 11,398 tahun cahaya. Jarak rata-rata dua bintang tersebut adalah 84 AU (satuan astronomy). Jarak ini kira-kira sama dengan dua kali jarak Pluto ke matahari. Berapakah jarak busat massa dari bintang Cygni A?

Jawab.

Informasi dari soal

Massa 61 Cygni A adalah \( M_A = 0,7 M_M \) dan massa 61 Cygni B adalah \( M_B = 0,63 M_M \) di mana \( M_M \) adalah massa matahari. Jarak pisah dua bintang adalah adalah \( d = 84 AU \).

Untuk menentukan jarak pusat massa dari 61 Cygni A maka kita tempatkan 61 Cygni A di pusat koordinat sehingga \( x_A = 0 \) dan \( x_B = 84 \) AU. Jarak pusat massa dari 61 Cygni A menjadi

\( x_{pm} ={ {M_A x_A + M_B x_B} \over {M_A + M_B}} \)

\( = {{0,7 M_M \times 0 + 0,63 M_M \times 84} \over {0,7 M_M + 0,63 M_M}} = 39,8 \) AU

Gambar fitur adalah bintang biner yang berrgerak mengelilingi pusat massanya (sumber : APOD NASA)