Hukum Gravitasi Newton

Level 2: Memahami

Soal 1) Satelit-satelit ditarik oleh gaya gravitasi bumi ke pusat bumi. Mengapa satelit tidak jatuh ke bumi?

Jawab

Kalau satelit diam atau bergerak dengan kecepatan kecil maka satelit pasti akan jatuh ke bumi.

Tetapi karena satelit bergerak dalam lintasan lingkaran maka satelit memiliki kecenderungan untuk meninggalkan bumi. Serupa dengan kalian putar benda dengan tali, maka benda tersebut memiliki kecenderungan untuk meninggalkan tangan kalian.

Paduan antara gaya tarik gravitasi bumi dan kecenderungan satelit untuk meninggalkan bumi menyebabkan satelit tetap bertahan pada orbit lingkaran.

Sama dengan benda yang kalian putar dengan tali: paduan antara gaya tarik tali dan kecenderungan benda meninggalkan tangan kalian menyebabkan benda bergerak pada lintasan lingkaran.

Level 3: Mengaplikasikan

Soal 1) Landsat 8 adalah satelit orbit bumi milik Amerika yang diluncurkan tanggal 11 Fevruari 2015. Satelit ini memiliki massa 2.623 kg dan ketinggian orbit 705 km di atas permukaan bumi.

Tentukan

a) Gaya gravitasi pada satelit

b) Laju orbit satelit

c) Periode orbit satelit

Massa bumi adalah 5,96 x 10²⁴ kg dan jari-jarinya 6.371 km. Gunakan G = 6,67 x 10^-11 N m²/kg².

Jawab

a)

R = 6.371 + 705 = 7.076 km = 7,076 x 10⁶ m

F = G M_B M_s/R² = 6,67 x 10^-11 x (5,96 x 10²⁴) x 3.623/(7,076 x 10⁶)²

= 2,59 x 10⁴ N

b)

Gaya gravitasi merupakan gaya sentripetal pada satelit. Maka laju satelit memenuhi

M_s v²/R = F

3.623 v²/(7,076 x 10⁶) = 2,59 x10⁴

v² = 5,62 x 10⁷

v = 7,5 x 10³

c) Periode

\(T = 2 \pi R/v = 2 \times \pi \times 7,076 \times 10^6/(7,5 \times 10^3)\)

= 5,93 x 10³ s = 98,9 menit

Dari data, periode orbit satelit adalah 98,8 menit

Soal 2) Sebuah perusahaan telekomunikasi bermaksud meluncurkan satelit yang mengorbit bumi enam kali sehari. Berapa ketinggian orbit satelit dari permukaan bumi? Massa bumi M_B = 5,96 x 10²⁴ kg, jari-jari bumi R_B = 6.371 km, dan G = 6,67 x 10^-11 N m2/kg².

Jawab

Periode orbit satelit

T = 1 hari/6 =24 x 60 x 60 detik/6 = 14.400 s

Kecepatan sudut satelit

\(\omega = 2 \pi /T = 2 \pi /14.400 = 0,000436\) rad/s

Gaya gravitasi pada satelit berperan sebagai gaya sentripetal. Jadi

\(G M_B M_s/r^2 = M_s \omega^2 r\)

\(r^3 = G MB/\omega^2 = (6,67 \times 10^{-11}) \times (5,96 x 10^{24})/(0,000436)^2\)

= 2,09 x 10²¹

r = 1,28 x 10⁷ m = 12.800 km

Ketinggian satelit dari permukaan bumi

h = 12.800 – 6.371 = 6.429 km

Soal 3) Satelit komunikasi kebanyakan merupakan satelit geostasioner. Satelit geostrasioner mengorbit bumi sekali dalam sehari sehingga jika diamati dari bumi maka satelit tersebut tampak diam (stasioner). Tentukan ketinggian satelit tersebut dari permukaan bumi.

Jawab

T = 1 hari = 86.400 s

Kecepatan sudut satelit

\(\omega = 2 \pi/T = 2 \pi /86.400 = 7,27 \times 10^{-5}\) rad/s

Gaya gravitasi pada satelit berperan sebagai gaya sentripetal. Jadi

\(G M_B M_s/r^2 = M_s \omega^2 r\)

\(r^3 = G M_B/\omega^2 = (6,67 \times 10^{-11}) \times (5,96 \times 10^{24})/(7,27 \times 10^{-5})^2\)

= 7,52 x 10²²

r = 4,22 x 10⁷ m = 42.200 km

Ketinggian satelit dari permukaan bumi

h = 42.200 – 6.371 = 35.800 km

Soal 4) Jari-jari bumi di kutub adalah 6.357 km dan di khatulistiwa adalah 6.378 km. Hitung percepatan gravitasi di kutub dan di khatulistiwa

Jawab

\(g_{kutub} = G M_B/R_{kutub}^2\)

\(= (6,67 \times 10^{-11}( \times (5,96 \times 10^{24})/(6,357 \times 10^6)^2\)

= 9,84 m/s²

\(g_{khat} = G M_B/R_{khat}^2\)

\(= (6,67 \times 10^{-11}) \times (5,96 \times 10^{24})/(6,378 \times 10^6)^2\)

= 9,77 m/s²

Soal 5) Sebuah bintang menjadi black hole jika jari-jarinya lebih kecil dari jari-jari Schwarzschild yang memenuhi persamaan \( r_s = 2GM/c^2\) dengan c adalah laju cahaya. Agar matahari menjadi black hole, berapakah jari-jari matahari dan berapa percepatan gravitasi di permukaan matahari? Massa matahari = 1,9 x 10³⁰ kg.

Jawab

jari-jari matahari agar menjadi black hole

r_s = 2 x (6,67 x 10^-11) x (1,9 x 10³⁰)/(3 x 10⁸)²

= 2,82 x 10³ m = 2,82 km

Percepatan gravitasi di permukaan matahari

\(g_M = G M/r_s^2 = (6,67 \times 10^{-11}) \times (1,9 \times 10^{30})/(2,82 \times 10^3)^2\)

\(= 1,6 \times 10^{13}\) m/s²

Soal 6) Percepatan gravitasi bumi sangat bergantung pada jarak dari pusat bumi. Mengapa kita mengambil percepatan gravitasi di permukaan bumi selalu sama padahal jarak dari pusat bumi bisa berbeda (akibat perbedaan ketinggian)?

Jawab

Penyebabnya adalah karena jari-jari bumi sangat besar. Jika kita hanya berubah ketinggian hanya beberapa ribu meter, percepatan gravitasi bumi hampir tidak berubah.

Jika kita berada di permukaan bumi maka

r = R_B = 6.371 m = 6,371 x 10⁶ m

Percepatan gravitasi

g = G M_B/r² = (6,67 x 10^-11) x (5,96 x 10²⁴)/(6,371 x 10⁶)²

= 9,79 m/s²

Jika kita naik pada ketinggian 10 km di atas permukaan laut maka

r = 6.371 + 10 = 6.381 km = 6,381 x 106 m

Percepatan gravitasi

g = G M_B/r² = (6,67 x 10^-11) x (5,96 x 10²⁴)/(6,381 x 10⁶)²

= 9,76 m/s²

Tampah bahwa perubahan ketinggian 10 km hanya mengubah percepatgan graviotasi sebesat 0,03 m/s² (dapat diabaikan).

Soal 7) Di akhir hidupnya sekitar 5 miliar tahun yang akan datang, matahari akan berubah menjadi bintang raksasa merah (red giant) dengan dengan diameter sekitar 2 AU, atau permukaannya mencapai bumi. Setelah itu ukuran matahari akar menyusut menjadi bintang katai putih. Berapa percepatan gravitasi di permukaan matahari saat ini dan saat menjadi bintang raksasa merah? Massa matari 2 x 10³⁰ kg dan jari-jari 7 x 10⁸ m.

Jawab

Percepatan gravitasi saat ini

r = 7 x 10⁸ m

g = G M_M/r = (6,67 x 10^-11) x (2 x 10³⁰)/(7 x 10⁸)²

= 272 m/s²

Saat menjadi raksana merah

r = 1 AU = 1,5 x 10¹¹ m

g = G M_M/r = (6,67 x 10^-11) x (2 x 10³⁰)/(1,5 x 10¹¹)²

= 0,006 m/s²

Soal 8) Dua buah massa identik, masing-masing m, berjarak 2a, seperti pada gambar berikut. Tentukan percepatan gravitasi pada titik P di sumbu dua benda yang berjarak b dari tengah-tenggan dua massa.

Jawab

Lihat gambar berikut

Besar percepatan gravitasi yang dihasilkan masing-masing massa

\( g = {{G m} \over r^2} = {{G m} \over{a^2 + b^2}}\)

Gaya ini memiliki komponen arah vertikal dan horisontal.

Komponen horisontal dari dua massa saling menghilangkan

Komponen vertikal saling menguatkan

Jadi persecapatan gravitasi total di titik P

\(g_t = 2 g \sin \theta\)

Dari gambar jelas

\(\sin \theta = {b \over R} = {b \over \sqrt{a^2+b^2}}\)

Jadi

\(g_t = 2 {{G m} \over {a^2 + b^2}} \times {b \over \sqrt{a^2+b^2}}\)

\(= {{2 G m b} \over {(a^2 + b^2)^{3/2}}}\)

Soal 9) Sebuah cincin memiliki massa M dan jari-jari a. Tentukan percepatan gravitasi sepanjang sumbu cincin pada jarak b dari pusat cincin.

Jawab

Kita bagi cincin atas N buah elemen-elemen kecil. Massa tiap elemen adalah m = M/N. Lihat gambar berikut.

Ambil pasangan elemen dalam posisi diametris (warna biru-biru atau merah-merah). Tiap pasangan tersebut menghasilkan percepatan gravitasi total seperti pada soal sebelumnya, yaitu

\(g = 2 {G m b \over {(a^2 + b^2)^{3/2}}}\)

\(= 2 {G (M/N) b \over {(a^2 + b^2)^{3/2}}}\)

Karena jumlah elemen ada N maka jumlah pasangan ada N/2. Dengan demikian, percepatan gravitasi cincin menjadi

\(g_t = (N/2) \times g\)

\(= (N/2) \times {2 G (M/N) b \over {(a^2 + b^2)^{3/2}}}\)

\(={G M b \over {(a^2 + b^2)^{3/2}}}\)

Soal 10) Dua buah bola besi identik dengan massa masing-masing 100 kg digantung pada tali yang kuat sepanjang masing-masing sepanjang 10 meter. Dua bola tarik-menarik akibat gaya gravitasi keduanya. Jarak dua tali adalah 25 cm. Berapa sudut antara tali dengan arah vertikal?

Jawab

Perharikan satu bola.

Gaya yang bekerja (arah vertikal ke bawah):

W = m g

= 100 x 10 = 1000 N

Arah horisontal:

F_G = G m m/R²

= 6,67 x 10^-11 x 100 x 100/(0,25)²

= 1,1 x 10^-5 N

Sudut simpangan tali memenuhi

\(\tan \theta = F_G/W = 1,1 \times 10^{-5}/1000\)

\(= 1,1 \times 10^{-8}\)

Karena sudut sangat kecil maka

\( \theta \approx \tan \theta = 1,1 \times 10^{-8}\) rad

Soal 11) Tentukan gaya gravitasi yang bekerja pada partikel yang memiliki massa m yang ditempatkan pada sumbu cincin pada jarak x dari pusat cincin. Gunakan jawaban pada soal 9)

Jawab

Pada soal 9 kita sudah dapatkan percepatan gravitasi pada sumbu yang berjarak x dari pusat cincin adalah

\(g =  – {{G M x} \over {(a^2 + x^2)^{3/2}}}\)

Tanda negatif menujukkan bahwa percepatan selalu menuju ke pusat cinbtin dan berlawanan dengan arah x.

Gaya yang bekerja pada massa m

\(F = m g = -{ {G M m x} \over {(a^2 + x^2)^{3/2}}}\)

Jika jarak m dari sumbu sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari cincin atau x << a maka

\(F = – {{G M m} \over {a^3}} x\)

Persamaan gaya ini persis sama dengan persamaan gaya pegas \(F = – k x\) di mana

\(k =  {{G M m} \over a^3}\)

Dengan demikian, massa m akan berosilasi dengan frekuensi

\(\omega = \sqrt{k/m}\)

\(= \sqrt{GM/a^3}\)

Level 4: Menganalisis

Soal 1) Misalkan terdapat tiga bintang dengan massa m₂ = 3 m₁, m₃ = 1/5 m₂, R₂₃ = (3/4) R₁₂, R₁₃ = (5/3) R₂₃. Tentukan perbandingan gaya gravitasi bintang m₁ vs m₂, m₁ vs m₃, dan m₂ vs m₃.

Jawab

Misal m₁ = M dan R₁₂ = R

m₂ = 3 m₁ = 3 M

m₃ = (1/5) m₂ = (3/5) M

R₂₃ = (3/4) R₁₂ = (3/4) R

R₁₃ = (5/3) R₂₃ = (5/3) x (3/4)R = (5/4) R

\(F_{12} = G m_1 m-2/R_{12}^2 = G M (3M)/R^2 = 3 G M^2/R^2\)

\(F_{23} = G m_2 m_3/R_{23}^2 = G (3M) (3/5) M/(3R/4)^2 = (16/5) G M^2/R^2\)

\(F_{13} = G m_1 m_3/R_{13}^2 = G M (3/5) M/(5R/4)^2 = (48/125) G M^2/R^2\)

Maka

F₁₂ : F₂₃ : F₁₃ = 3 : 16/5 : 48/125

= 7,8 : 8,3 : 1

Soal 2) Hukum III Kepler menyatakan bahwa perbandingan antara pangkat tiga jarak planet dari matahari dan pangkat dua periode edar adalah konstan.

Jawab

Kita asumsikan orbit planer berupa lingkaran.

Gaya gravitasi matahari pada planet

F = G M_M M_p/r²

Gaya ini menjadi gaya sentripetal untuk gerakan planet.

Jadi kita dapat menulis

\( G M_M M_p/r^2 = M_p v^2/r \)

\( G M_M /r^2 = (2 \pi r/T)^2/r \)

\(G M_M /r^2 = 4 \pi^2 r/T^2\)

\(r^3/T^2 = G M_M/4 \pi^2\)

Suku kanan hanya bergantung pada massa matahari sehingga nilainya konstan untuk semua planet. Jadi, hukum III Kepler terbukti.

Soal 3) Jika jari-jari mataahri menjadi dua kali jari-jari saat ini, berapa kali perubahan

a) percepatan gravitasi di permukaan matahari,

b) percepatan gravitasi pada posisi bumi

c) percepatan gravitasi di permukaan matahari sebelumnya

Jawab

Percepatan gravitasi di luar benda memenuhi

g = G M/r²

atau

\(g \propto 1/r^2 \)

a) Ketika jari-jari matahari menjadi dua kali maka percepatan gravitasi di permukaan menjadi 1/4 kali

b) Jarak bumi ke matahari tidak berubah sehingga percepatan gravitasi di posisi bumi tidak berubah

c) Percepatan gravitasi di permukaan matahari semula

g₀ = G M/R²

Percepatan gravitasi di dalam benda berbentuk bola memenuhi persamaan

\(g = (4 \pi /3) G \rho r\)

Jika R_B = 2 R maka

\(\rho = M/(4 \pi R_B^3/3) = (1/8) M/(4 \pi R^3/3)\)

Percepatan gravitasi ada jarak R

\(g = (4 \pi /3) G ((1/8) M/(4 \pi R^3/3) \times R\)

\(= (1/8) GM/R^2 = (1/8) g_0\)

Jari percepatan gravitasi menjadi seperdelapan percepatan di permukaan matahari saat sebelum mengembang.

Soal 3) Berapakah gaya gravitasi pada benda yang ditempatkan di tengah-tengah donut oleh donut?

Jawab

Nol.

Setiap elemen pada donut memiliki pasangan yang berada di seberang (diametris) yang menarik benda dengan gaya yang sama besar tetapi berlawnan arah. Dengan demikian, gaya netto yang dialami benda menjadi nol.

Level 5: Mengevaluasi

Soal 1) Teleskop James Webb akan ditempatkan pada orbit yang jaraknya sekitar 1,8 juta km dari Bumi. Di sini adalah lokasi salah satu titik Lagrange, yaitu titik L2. Pada titik Lagrange, gabungan gaya gravitasi matahari dan bumi pada benda menghasilkan gaya sentripetal dengan periode yang sama dengan periode revolusi bumi. Jadi, pada titik Lagrange, teleskop tidak mengorbit bumi, tetapi mengorbit matahari bersama-sama dengan bumi dengan periode yang persis sama dengan periode orbit bumi.

Video berikut adalah contoh gerak satelit pada titik Lagrange. Ada 5 titik lagrange di sekitar sistem bumi-matahari. Warna merah = matahari, warna biru = bumi, lima benda lainnya berada di titik Lagrange.

Video berikut adalah orbit satelit yanh umum. Satelit-satelit tersebut mengorbit bumi san bersama bumi mengorbit matahari.

Teleskop James Webb akian ditempatkan di titik L2 yang berada di belakang bumi. Tentukan jarak titik tersebut dari bumi.

Jawab

Persamaan untuk teleskop:

Gaya gravitasi oleh matahari + gaya gravitasi oleh bumi = gaya sentripetal pada teleskop

\({{G M_M m_t} \over {(R + r)^2}} + {{G M_B m_t} \over {r^2}} = m_t \omega^2 (R + r)\)

atau

\({{G M_M } \over {(R + r)^2}} + {{G M_B} \over {r^2}} = \omega^2 (R + r)\)

Persamaan untuk bumi:

Gaya gravitasi oleh matahari = gaya sentripetal pada bumi

\({{G M_M M_B} \over {R^2}} = M_B \omega^2 R\)

atau

\(\omega^2 = {{G M_M} \over R^3}\)

Substitusi \(\omega\)

\({{G M_M } \over {(R + r)^2}} + {{G M_B} \over {r^2}} = {{G M_M} \over R^3} (R + r)\)

atau

\({1 \over {(R + r)^2}} + {{M_B/M_M} \over {r^2}} = {1 \over R^3} (R + r)\)

Gunakan R = 1 AU = 150 juta km, M_B/M_M = 5,96 x 10^-6, diperoleh r = 0.0126 AU = 1,89 juta km.