Teorema Kerja-Energi

Teorema Kerja-Energi 1: Kerja oleh gaya total = perubahan energi kinetik

Level 3: Mengaplikasikan

Soal 1) Genteng keramik jatuh bebas dari atap yang memiliki ketinggian 7 m dari tanah. Massa genteng tersebut 1,6 kg. Hitung kerja yang dialami genteng saat mencapai tanah.

Jawab

Energi kinetik awal

\(K_1 = (1/2) m v_1^2 = (1/2) \times 1,6 x 0 = 0\)

Laju saat genteng mencapai tanah

\(v_2 = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 7} = 11,8\) m/s

Energi kinetik akhir

\(K_2 = (1/2) m v_2^2 = (1/2) \times 1,6 \times 11,8^2 = 111,4\) J

Kerja yang dilakukan pada genteng

\(W = K_2 – K_1 = 111,4 – 0 = 111,4\) J

Soal 2) Balok dengan massa 2,3 kg didorong ke atas sepanjang bidang miring kasar dengan laju awal 5 m/s. Benda berhenti setelah berpindah sejauh 2,5 m. Berapa kerja yang diterima balok?

Jawab

Energi kinetik awal

\(K_1 = (1/2) m v_1^2 = (1/2) \times 2,3 \times 5^2\)

\(= 28,75\) J

Energi kinetik akhir

\(K_2 = (1/2) m v^2 = 0\)

Kerja pada balok

\(W = K_2 – K_1 = 0 – 28,75 = – 28,75\) J

Soal 3) Seseorang anak meloncat dari jembatatan ke dalam sungai yang memiliki ketinggian 10 meter. Anak tersebut tercebaur ke dalam sungai dan berhenti setelah masuk sejauh 2 meter. Massa tubuh anak 47,5 kg. Hitung:

a) Energu kinetik anak saat menyentuh permukaan air

b) Kerja yang bekerja pada anak selama berada di dalam air.

c) Gaya rata-rata yang diterima anak

Jawab

a)

Laju akan saat menyentuk permukaan sungai memenuhi persamaan

\(v^2 – v_0^2 = 2 g h\)

\(v^2 – 0 = 2 \times 10 \times 10 = 200\)

Energi kinetik anak saat menyentuh permukaan air

\(K_1 = (1/2) m v^2 = (1/2) \times 47,5 \times 200 = 4.750\) J

Energi kinetik anak setelah menyelam 2 meter

\(K_2 = 0\)

b) Kerja yang diterima anak

\(W = K_2 – K_1 = 0 – 4.750 = – 4.750\) J

c) Gaya rata-rata

\(W = F s\)

\(-4.750 = F \times 2 \)

\(F = – 2.375\) N

Soal 4) Pesawat Boeing 737-800 lepas landas dari bandara Juanda dengan laju 150 mph. Ketika mencapai ketinggian jelajah 38.000 kaki, laju pesawat mencapai 525 mph. Berapa kerja yang diterma pesawat dari landasan hingga mencapai ketinggian tersebut? Massa pesawat beserta seluruh muatanya adalah 63,5 ton.

Catatan: 1 mph = 0,447 m/s, 1 kaki = 0,305 m

Jawab

Laju awal pesawat

\(v_1 = 150 \times 0,447 = 67\) m/s

Energi kinetik awal

\(K_1 = (1/2) m v_1^2 = (1/2) \times 63.500 \times 67^2\)

\(= 1,4 \times 10^8\) J

Laju akhir pesawat

\(v_2 = 525 \times 0,445 = 235\) m/s

Energi kinetik akhir

\(K_2 = (1/2) m v_2^2 = (1/2) \times 63.500 \times 235^2\)

\(= 1,8 \times 10^9\) J

Kerja yang diterima pesawat

\(W = K_2 – K_1\)

\(= 1,8 \times 10^9 – 1,4 \times 10^8 = 1,66 \times 10^9\) J

Soal 5) Balok kayu dengan massa 1,2 kg menuruni lintasan setengah lingkaran denghan jari-jari 2 m. Laju awal balok adalah nol. Ada gaya gesekan antara balok dan lintasan. Saat di dasar lintasan laju balok adalah 5,5 m/s. Hitunglah

a) Kerja yang diterima balok

b) Gaya rata-rata yang diterima balok

Jawab

a)

Energi kinetik awal

\(K_1 = 0\)

Energi kiinetik akhir

\(K_2 = (1/2) m v^2 = (1/2) \times 1,2 \times 5,5^2 = 18,15\) J

Kerja pada balok

\(W = K_2 – K_1 = 18,15 – 0 = 18,15\) J

b)

Panjang lintasan

\(s = (1/4) \times 2 \pi r = (1/4) times 2 \times 3,14 \times 2 = 3,14\) m

Gaya rata-rata

\(F = W/s = 18,15/3,14 = 5,8\) N

Soal 6) Debit tertinggi air yang jatu di air terjun Niagara adalah 6.400 m/s. Ketinggian air terjun sekitar 51 m.

a) Berapa tambahan energi kinetik per detik saat air mencapai dasar?

b) Berapa kerja yang diterima air per detik?

Jawab

a) Massa air yang jatuh per detik

[\latex] \Delta m = 6.400 \times 1000 = 6,4 times 10^6[/latex] kg.

Laju air sebelum jatuh v₀

Energi kinetik awal

\(K_1 = (1/2) \Delta m v_0^2\)

Laju akhir air memenuhi persamaan

\(v^2 – v_0^2 = 2 g h\)

\(v^2 = v_0^2 + 2 g h = v_0^2 + 2 \times 10 \times 50 = v_0^2 + 1000\)

Energi kinetik akhir

\(K_2 = (1/2) \Delta m v^2 = (1/2) \Delta m (v_0^2 + 1000)\)

\( = (1/2) \Delta m v_0^2 + (1/2) \times (6,4 \times 10^6) \times 1000\)

\(= K_1 + 3,2 \times 10^9\) J.

Tambahan energi kinetik per detik

\( \Delta K = K_2 – K_1 = 3,2 \times 10^9\) J

b) Kerja yang diterima air per detik

\(W = \Delta K = 3,2 \times 10^9\) J

Teorema Kerja-Energi 2: Kerja oleh gaya gesekan = perubahan energi mekanik

Level 3: Mengaplikasikan

Soal 1) Massa bola basket adalah 600 g. Bola tersebut dilempar vertikal ke atas dengan laju awal 20 m/s. Hitung

energi kinetik bola, energi potensial bola, dan energi mekanik bola

a) saat dilempar

b) saat di puncak lintasan

c) saat setengan ketinggian lintasan

d) saat kembali ke tangan pelempar

Jawab

m = 0,6 kg

v₀ = 20 m/s

a) Saat dilempar

\(K = (1/2) m v_0^2 = (1/2) \times 0,56 \times 20^2\)

= 120 J

U = m g h = 0,6 x 10 x 0 = 0

EM = K + U = 120 + 0 = 120 J

b) Saat di puncak lintasan

v = 0

\(h = v_0^2/(2 g) = 20^2/(2 \times 10) = 20\) m

\(K = (1/2) m v^2 = (1/2) \times 0,6 \times 0 = 0\)

U = m g h = 0,6 x 10 x 20 = 120 J

EM = K + U = 0 + 120 = 120 J

c) Saat setengah lintasan

h = 20/2 = 10 m

\(v^2 – v_0^2 = – 2 g h\)

\(v^2 = v_0^2 – 2 g h = 20^2 – 2 \times 10 \times 10 = 200\)

\(K = (1/2) m v^2 = (1/2) \times 0,6 \times 200 = 60\) J

U = m g h = 0,6 x 10 x 10 = 60 J

EM = K + U = 60 + 60 = 120 J

c) Saat kembali ke tangan

h = 0 m

\(v = v_0 = 20\) m/s

U = m g h = 0,6 x 10 x 0 = 0 J

\(K = (1/2) m v_0^2 = (1/2) \times 0,56 \times 20^2\)

= 120 J

EM = K + U = 120 + 0 = 120 J

Soal 2) Balok dengan massa 1,5 kg meluncur dengan laju awal nol pada bidang miring dengan sudut kemiringan 30^o. Koefieisn gesekan statis balok dengan bidang adalah 0,25. Panjang balok adalah 1,5 m. Berapa energi kinetik, energi potensial, dan energi mekanik bola

a) Saat diluncurkan

b) Saat mencapai dasar bidang miring

Jawab

a) Saat diluncurkan

v₀ = 0

h = 0

\(K = (1/2) m v_0^2 = (1/2) \times 1,5 \times 0 = 0\)

U = m g h = 1,5 x 10 x 0 = 0

EM = K + U = 0 + 0 = 0

b) Saat mencapai dasar bidang miring

Perubahan ketinggan

h = – 1,5 sin 30^o = – 1,5 x 0,5 = -0.75 m

Energi potensial

U = m g h = 1,5 x 10 x 0,75 = -11,25 J

Kita cari kerja oleh gaya luar

Gaya normal

N = W cos 30^o = 1,5 x 10 x 0,866 = 13 N

Gaya gesekan kinetik

\(f_k = \mu_k N = 0,25 \times 13 = 3,25\) N

Kerja oleh gaya gesekan

W_ges = – f_k s = – 3,25 x 1,5 = -5,25 J

Energi mekanik akhir memenuhi

W_ges = EM₂ – EM₁

-5,25 = EM₂ – 0

EM₂ = – 5,25 J

Energi kinetik akhir

K₂ + U₂ = EM₂

K₂ + (-11,25) = – 5,25

K₂ = 6 J

Soal 3) Sebuah benda dengan massa m ditembakkan vertikal ke atas dari permukaan bumi. Berapa laju minial benda agar bisa lepas dari bumi? Lepas dari bumi maksudnya mencapai jarak tak berhingga dari bumi. Massa bumu 5,97 x 10²⁴ kh dan jari-jari 6371 km.

Jawab

Saat di permukaan bumi

Energi mekanik

EM₁ = K₁ + U₁

\(= (1/2) m v_0^2 – G M_B m/R\)

Saat lepas dari bumi (\(r = \infty\), v = 0)

\(EM_2 = (1/2) m \times 0^2 – G M_B m/\infty = 0\)

Hukum kekekalam energi mekanik

EM₁ = EM₂

\((1/2) m v_0^2 – G M_B m/R = 0\)

\(v_0^2 = 2 G M_B/R\)

\(v_0 = \sqrt{2 G_M/R} = \sqrt{2 \times (6,67 \times 10^{-11})/(6,371 \times 10^6)}\)

\(= 1,2 \times 10^4\) m/s

Laju ini disebut laju lepas benda.

Benda akan lepaa dari permukaan buki jika \(v > 1,2 \times 10^4\) m/s.

Soal 4) Satu karung kapas dijatuhkan dari lantai 2 rumah yang memiki ketinggian 3,5 m. Massa kapas tersebut 8 kg. Saat mencapai tanah, laju karungan adalah 8 m/s. Berapa kerja yang dilakukan gaya gesekan dan berapa gaya gesekan rata-rata?

Jawab

Energi mekanik awal

EM₁ = K₁ + U₁

= 0 + 8 x 10 x 3,5 = 280 J

Energi mekanik akhir

EM₂ = K₂ + U₂

= (1/2) x 8 x 8² + 8 x 10 x 0

= 256 J

Kerja oleh gaya gesekan

W_g = EM₂ – EM₁ = 256 – 280 = – 24 J

Gaya geekan rata-rata

f_k = W_g/h = -24/3,5 = – 6,9 N

Tanda negatif menunjukkan arah gaya gesekan berlawanan dengan arah perpiondahan.

Soal 5) Penerjun payung dengan massa total (massa tubuh dan semua perlengkapan) 90 kg, terjun dari ketinggian 800 m. Penerjun tersebut menyentuh tanah dengan laju 7 m/s.  Berapa kerja yang dilakukan gaya gesekan udara pada penerjun?

Jawab

Energi mekanik awal

EM₁ = K₁ + U₁ = 0 + m g h

= 90 x 10 x 800 = 720.000 J

Energi mekanik saat menyentuh tanah

EM₂ = K₂ + U₂

= (1/2) m v² + 0 = (1/2) x 90 x 7² = 2.205 J

Kerja yang dilakukan gaya gesekan udara

W_ges = EM₂ – EM₁ = 2.250 – 720.000

= 717.795 J

Soal 6) Sebuah tongkat homogen setinggi 5 meter berdiri vertikal. Massa tongkat adalah 2,7 kg. Tongkat tiba-tiba jatuh dan mengenai tanah dalam posisi vertikal. Hitung eEnergi potensial, kinetik, dan mekanik tongkat

a) Saat masih tegak

b) Saat menyentuh tanah dalam posisi vertikal

Jawab

a)

Titik pusat massa berada do tengah-tengah tongkat. Saat tongkat berdiri, ketinggian pusat massa adalah h = 5/2 = 2,5 m.

U₁ = m g h = 2,7 x 10 x 2,5 = 67,5 J

K₁ = 0 (diam)

EM₁ = K₁ + U₁ = 0 + 67,5 = 67,5 J

b) Saat menyentuh tanah

U₂ = m g x 0 = 0

Karena tidak ada gaya gesekan, energi mekanik kekal.

Jadi

EM₂ = EM₁ = 67,5 J

K₂ = EM₂ – U₂ = 67,5 – 0 = 67,5 J

Soal 7) Bandul kayu yang terdiri dari silinder dan bola kayu berputar turun dari posisi horisontal. Panjang batang 1,2 m dan diameter bola 30 cm. Massa batang 0,8 kg dan massa bola 2,5 kg. Tentukan energi potensial, energi kinetik, dan energi mekanik

a) Sebelum dilepas

b) Setelah berada dalam posisi vertikal sebelum dihentikan oleh penghalang

Jawab

a)

Ambil ketinggian posisi awal adalah nol

Energi potensial batang

U₁₁ = m₁ g h₁ = 0,8 x 10 x 0 = 0

Energi potensial bola

U₁₂ = m₂ g h₁ = 2,5 x 10 x 0 = 0

Energi potensial total

U₁ = U₁₁ + U₁₂ = 0

Energi kinetik total

K₁ = 0 (diam)

Energi mekanik total

EM₁ = U₁ + K₁ = 0

b) Dalam posisi vertikal

Ketinggian pusat massa batang (setengah panjang batang)

h₁ = – 1,2/2 = -0,6 m

Ketinggian pusat massa bola

h₂ = – (panjang batang + jari-jari) = – (1,2+0,3/2)

= – 1,35 m

Energi potensial batang

U₂₁ = m₁ g h₁ = 0,8 x 10 x (-0,6) = -4,8 J

Energi potensial bola

U₂₂ = m₂ g h₂ = 2,5 x 10 x (-1,35)

= -33,75 J

Energi potensial total

U₂ = U₂₁ + U₂₂ = -4,8 – 33,75

= -38,55 J

Karena tidak ada gaya gesekan, energi mekanik kekal.

Jadi

EM₂ = EM₁ = 0

Energi kinetik akhir

K₂ = EM₂ – U₂ = 0 – (-38,55)

= 38,55 J

Soal 8) Kita memiliki bandul seperti pada soal 7) tetapi arah putaran dibalik. Energi kinetik total di posisi awal (vertikal ke bawah) adalah 100 J. Berapa energi potensial dan energi kinetik di posisi vertikal ke atas?

Jawab

Kita ambil posisi sumbu putar sebagai ketinggian nol.

Ketinggian pusat massa batang mula-mula

h₁₁ = – (1,2/2) = -0,6 m

Ketinggian pusat massa bola mula-mula

h₂₁ = -(1,2 + 0,3/2) = -1,35 m

Energi potensial mula-mula

U₁ = energi potensial batang + energi potensial bola

= m₁ g h₁₁ + m₂ g h₂₁

= 0,8 x 10 x (-0,6) + 2,5 x 10 x (-1,35) = -38,55 J

Energi mekanik awal

EM₁ = K₁ + U₁ = 100 + (-38,55) = 61,45 J

Saat posisi vertikal ke atas

Karena tidak ada gaya gesekan, energi mekanik kekal

EM² = EM₁ = 61,45 J

Ketinggian pusat massa batang

h₁₂ = 1,2/2 = 0,6 J

Ketinggian pusat massa bola

h₂₂ = 1,2 + 0,3/2 = 1,35 m

Energi potensial

U₂ = m₁ g h₁₂ + m₂ g h₂₂

= 0,8 x 10 x 0,6 + 2,5 x 10 x 1,35

= 38,55 J

Energi kinetik

K₂ = EM₂ – U₂ = 61,45 – 38,55

= 22,9 J

Soal 9) Peluru ditembakan vertikal ke atas dari permukaan bumi dengan laju awal 10.000 m/s. Berapa jarak terjauh yang dicapai peluru diukur dari permukaan bumi? Abaikan gesekan udara. Massa bumi 5,97 x 10²⁴ kg, jari-jari bumi 6371 km, dan G = 6,67 x 10^-11 N m²/kg².

Jawab

Karena jarak yang akan digunakan peluru sangat jauh, kita tidak menggunakan persamaan gerak parabola (GLBB). Kita gunakan hukum kekekalan energi mekanik.

EM₁ = EM₂

K₁ + U₁ = K₂ + U₂

\((1/2) m v_0^2 – G M_B m/R = (1/2) m \times 0 – G M_B m/r\)

\((1/2) v_0^2 – G M_B/R =– G M_B/r\)

(1/2) x 10.000 x 10.000 – (6,67 x 10^-11) x (5,97 x 10²⁴)/6.371.000 = (6,67 x 10^-11) x( 5,97 x 10²⁴)/r

-1,25 x 10⁷ = -4 x 10¹⁴/r

r = 4 x 10¹⁴/1,25 x 10⁷ = 3,2 x 10⁷ m

=32.000 km

Jarak terjauh peluru dari permukaan bumi = 32.000 – 6371 = 25.629 km