005: Eksperimen Milenial – Bandul Fisis (Eksperimen Tidak Harus di Laboratorium)

Kita sudah bahas eksperimen bandul matematis sederhana menggunakan tali yang sangat panjang. Bandul matematis dapat dianggap sebagai massa titik yang ditempatkan di ujung bawah tali penggantung. Ketika diayunkan maka yang berayung dapat dianggap sebagai titik. Oleh karena itu, persamaan bandul matematis sederhana sangat mudah dipahami.

Lain halnya dengan bandul fisis. Yang diayunkan bukan lagi massa titik, tetapi benda besar. Massa terdistribusi mulai dari posisi poros hingga ujung bawah. Pada bagian ini kita akan pelajari osilasi bantul fisis dan dari percobaan yang dilakukan kita prediksi juga percepatan gravitasi di Kota Bandung.

Persamaan bandul fisis dimulai dari persamaan momen gaya. Hukum II Newton untuk momen gaya adalah

\( \tau = I \alpha \)

dengan

\( \tau \) adalah momen gaya total terhadap sumbu putar

\( I \) adalam momen inersia total terhadap sumbu putar

\( \alpha \) adalah kecepatan sudut rotasi.

Pada eksperimen kali ini kita gunakan sistem seperti pada Gambar 005.1. Sebuah silinder dengan jari-jari \( R \) ditautkan secara kuat pada ujung bawah sebuah batang. Panjang batang adalah \( L \). Pada ujung atas batang dipasang cincin pengantung dengan jarak \( \Delta L \) dari ujung atas batang.

Untuk menerapkan hukum II Newton mka kita mesti melakukan perhitungan momen inersia dan momen gaya. Momen inersia silinder pejal terhadap pusat massa memenuhi persamaan

\( I_{s,pm} = {1 \over 2} M R^2 \)

dengan \( M \) adalah massa silinder.

Perhatikan Gambar 005.1. Jarak pusat silinder ke sumbu putar adalah \( d_s = R + L + \Delta L \). Maka Momen inersia silinder terhadap sumbu putar

\( I_{s,p} = I_{s,pm} + M d_s^2 \)

Momen inersia batang terhadap pusat massanya adalah

\( I_{b,sp} = {1 \over 12} m L^2 \)

dengan \( m \) adalah massa batang.

Jarak pusat batang ke sumbu putar adalah \( d_b = (L/2) + \Delta L \). Maka Momen inersia silinder terhadap sumbu putar

\( I_{b,p} = I_{b,pm} + m d_b^2 \)

Dengan demikian, momen inersia total sistem terhadap sumbu putar adalah

\( I_t = I_{s,p} + I_{b,p} \)

Berikutnya kita hitung lokasi pusat massa untuk menentukan momen gaya. Jarak pusat massa batang dari sumbu putar adalah \( h_1 = (L/2) + \Delta L \). Jarak pusat massa silinder dari sumbu putar adalah \( h_2 = R + L + \Delta L \). Jarak pusat massa sistem dari sumbu putar adalah

\( h = {{m h_1 + M h_2} \over {m+M}} \)

Massa total sistem adalah

\( M_t = m + M \)

Momen gaya yang bekerja pada sistem ketika bandul menyimbang dengan sudut \( \theta \) (lihat Gambar 005.1, kanan)

\( \tau = -M_t g h \sin \theta \)

Jika dimasukkan ke dapam hukum II Newton maka diperoleh

\( I_t \alpha = -M_t g h \sin \theta \)

Untuk sudut simpangan yang dianggap kecil maka kita dapat melakukan aproksimasi \( \sin \theta = \theta \). Dengan demikian persamaan di atas dapat ditulis menjadi

\( \alpha = – {{M_t g h} \over I_t} \theta \)

Ini adalah persaman osilasi. Bentuk umum persamaan osilasi adalah

\( \alpha = – {{4 \pi^2} \over T^2} \theta \)

Dengan membandingkan dua persamaan terakhir kita simpulkan

\( {{M_t g h} \over I_t} = {{4 \pi^2} \over T^2} \)

Yang menghasilkan persamaan percepatan gravitasi bumi

\( g = {{4 \pi^2 I_t} \over {M_t T^2 h} } \quad \quad \quad \quad \quad \quad (005.1)\)

Berdasarkan persamaan (005.1) maka kita dapat menentukan percepatan gravitasi dengan mengukur periode osilasi pegas.

Eksperimen

Alat/Bahan

Saya menggunakan beban bentuk silinder dengan massa \( M = 1,625 \) kg dan jari-jari \( R = 0,07 \). Dengan demikian \( I_{s,pm} = 0,003981 \) kg m². Saya menggunakan batang dari pipa paralon 1 inci sepanjang \( L = 1,39 \) m. Massa batang adalah \( m = 0,524 \) kg. Dengan demikian \( I_{b,pm} = 0,337433 \) kg m².

Jarak ujung batang ke poros (panjang cincin) adalah \( \Delta L = 0,029 \) m. Dengan demikian \( I_{s,p} = 3,606803 \) kg m² dan \( I_{b,p} = 0,612142 \) kg m². Momen inersia total menjadi \( I_t = 4,218945 \) kg m².

Massa total sistem adalah \( M_t = 2,149 \) kg. Jarak pusat massa ke sumbu putar adalah \( h = 1,302467 \) m.

Persamaan (005.1) dapat disederhanakan menjadi

\( g = {{59,50596} \over T^2 } \)

Pengamatan dan Hasil

Setup eksperimen tampak pada Gambar fitur. Sebagai pencatat waktu kita gunakan stopwatch HP. Ayunan bandul direkam dan video rekaman dipindahkan ke komputer. Periode ayunan dan perhitungan lainnya dilakukan di komputer. Percobaan dilakukan di taman. Sesuai dengan judul bahwa percomaan fisika dapat dilakukan di mana saja selama tidak mengandung unsur bahaya dan tidak memerlukan ketelitian sangat tinggi.

Kita mulai pengukuran dengan catatan waktu stopwatch \( t_1 = 3,68 \) s. Saat dilakukan 20 kali ayunan penuh maka penunjukkan stopwatch adalah \( t_2 = 52,05 \) s. Lihat Gambar 005.2 yang menunjukkan keadaan awal dan keadaan setelah bandul berayun 20 kali.

Berdasarkan Gambar 005.2 kita dapatkan periode ayunan adalah

\( T = {{t_2 – t_1} \over 20} ={{52,05 – 3,68} \over 20} \)

\( = 3,68 \) s

Akhirnya, percepatan gravitasi adalah

\( g = = {{59,50596} \over {3,68}^2 } = 10,182\) m/s2

Percepatan gravitasi di Kota Bandung yang diukur oleh Khairurrijal dkk [1] adalah \( 9,77\) m/s2. Dengan demikian, terjadi perbedaan sebesar \( (10,182 – 9,77)/10,182 = 0,04 \) atau [/latex] 4 \% [/latex].

Pada pengukuran dengan bandul matematis sangat panjang (004: Eksperimen Milenial – Bandul Matematis Sangat Panjang (Eksperimen Tidak Harus di Laboratorium) kita peroleh percepatan gravitasi sebesar \( 9,67 \) m/s².

[1] Khairurrijal , Eko Widiatmoko, Wahyu Srigutomo and Neny Kurniasih, Measurement of gravitational acceleration using a computer microphone port, Physics Education vol. 47, hal. 709 (2012)