Gerak Melingkar

Level 2: Memahami

Soal 1) Bola diikatkan pada ujung tali yang memiliki panjang 1 kemudian diputar dengan laju tangensial tetap. Apakah percepatan setripetal berbeda pada posisi berbeda? (di kiri, kanan, di dasar, dan di puncak lintasan)

Jawab:

Percepatan sentripetal selalu sama selama jari-jari dan kecepatan tangensial sama. Persamaan percepatan sentripetal \(a_s = v^2/r\) atau \(a_s = \omega^2 r\).

Level 3: Mengaplikasikan

Soal 1) Sebuah bola bergrak pada lintasan lingkaran dengan laju konstan. Jari-jari lintasan 2 m dan bola menyelesaikan satu lintasan penuh dalam 5 detik.

Tentukan

a) Kecepatan sudut bola

b) Kecepatan tangensial bola

c) Frekuensi putaran bola sadalm satuan hertz

d) Frekuensi putaran bola dalam satuan rpm

e) Percepatan sentripetal bola

Jawab

Data yang diberikan: R = 2 m dan T = 5 s

\(\omega = {{2 \pi} \over T} = {{ 2 \pi} \over 5} = 1,26\) rad/s

\(v = \omega r = 1,26 \times 2 = 2,52\) m/s

\(f = {1 \over T} = {1 \over 5} = 0,2\) Hz

Dalam 1 detik ada 0,2 putaran.

Dalam satu menit ada \(60 \times 0,2 = 12\) putaran.

Jadi kecepatan sudut = 12 rpm

\(a_s = \omega^2 R = (1,26)^2 \times 2 = 3,2\) m/s²

Soal 2) Percepatan sentripetal motor balap yang sedang melewati tikungan adalah 80 m/s². Jari-jari kelengkungan tikungan adalah 20 m. Hitung

a) Laju sesaat

b) Kecepatan sudut sesaat motor tersebut

Jawab

\( a_s = {v^2 \over R} \)

\(80 = {v^2 \over 20}\)

\(v^2 = 80 \times 20 = 160\)

\(v = 40\) m/s

\(\omega ={v \over r} = {40 \over 20} = 2\) rad/s

Soal 3) Berapakah kecepatan sudut rotasi bumi

Jawab

Periode rotasi bumi

T = 1 hari = 24 jam \times 60 menit x 60 s = 86.400 s

Kecepatan sudut

\(\omega = {{2 \pi} \over T} = {{2 \pi} \over 86.400} = 7,27 \times 10^{-5}\) rad/s

Soal 4) Dari bumi, kita melihat permukaan bulan selalu sama. Kita tidak pernah melihat sisi belakang bulan. Penyebabnya adalah periode rotasi bulan persis saam dengan periode revolusinya mengelilingi bumi. Periode revolusi bulan adalah 27,3 hari. Jari-jari bulan adalah 1.737 km dan jari-jari orbit bulan adalah 384.400 km. Tentukan

a) Kecepatan tangensial bulan mengelilingi bumi

b) Kecepatan tangensil lokasi di khatulistiwa bulan

Jawab

Periode rotasi dan revolusi bulan

\(T = 27,3 \times 24 \times 60 \times 60 s = 2,36 \times 10^6\) s

Kecepatan sudut revolusi = rotasi bulan

\(\omega = {{2 \pi} \over T} = {{2 \pi} \over 2,36 \times 10^6}\)

\(= 2,7 \times 10^{-6}\) rad/s

a) Kecepatan tangensial mengelilingi bumi

\(v_{rev} = \omega R_{Bb} = (2,7 \times 10^{-6}) \times 384.400.000\)

\(= 1.038\) m/s

b) Kecepatan tangensial khatulistiwa

\( v_{kh} = \omega r_b = (2,7 \times 10^{-6}) \times 1.737.000\)

\(= 4,7\) m/s

Soal 5) Tentukan kecepatan tangensial dan percepatan sentripetal lokasi di

a) Khatulistiwa bumi

b) Pada lintang 30^o LU

c) Pada kutub selatan bumi

Jari-jari bumi adalah 6.371 km.

Jawab

Kita sudah hitung kecepatan sudut rotasi bumi adalah

\(\omega = 7,27 \times 10^{-5}\) rad/s

Di khatulistiwa, jarak ke sumbu putar = jari-jari bumi.

Kecepatan tangensial

\(v = \omega R = (7,27 \times 10^{-5}) \times 6.371.000\)

\(= 464\) m/s.

\(a_s = \omega^2 R = (7,27 \times 10^{-5})^2 \times 6.371.000\)

\(= 0,034\) m/s²

Lihat gambar berikut

Jarak ke sumbu rotasi

\( r = R \cos 30^o = 6371.000 \times 0,866\)

\(= 5.517.286\) m

Kecepatan tangensial

\(v = \omega \times R_{30} = (7,27 \times 10^{-5}) \times 5.517.286\)

\(= 401\) m/s.

\(a_s = \omega^2 R = (7,27 \times 10^{-5})^2 \times 5.517.286\)

\(= 0,029\) m/s²

c) di kutub, jarak ke sumbu rotasi = 0. Kecepatan tangensial = 0 dan percepatan sentripetal =0.

Soal 6) Bola melakukan gerak melingkar dengan laju konstant seperti diilustrasikan pada gambar berikut. Jari-jari lintasa 5 m. Bola bergerak dari titik A ke titi B dalam waktu 1,25 s. Tentukan

a) Periode putaran bola

b) Kecepatan sudut

c) Kecepatan tangensial

d) Percepatan sentripetal

Jawab

\(R = 5\) m

\(T/4 = 1,25\) s

\(T = 4 \times 1,25 = 5\) s

\(\omega = 2 \pi/T = 2 \pi /5 = 1,26\) rad/s

\(v = \omega R = 1,26 \times 5 = 6,3\) m/s

\(a_s = \omega^2 R = (1,26)^2 \times 5 = 7,9\) m/s²

Soal 7) Satelit BRI (BRISAT) mengelilingi bumi satu kali dalam satu hari. Satelit tersebut berada pada ketinggian 35.796 km dari permukaan bumi. Tentukan

a) Kecepatan sudut satelit

b) Kecepatan tangensial satelit

c) Percepatan sentripetal satelit

Jawab

Periode orbit satelit = peiode rotasi bumi.

T = 1 hari = 24 jam x 60 menit x 60 s = 86.400 s

Kecepatan sudut

\( \omega = 2 \pi/T = 2 \pi/86.400 = 7,27 \times 10^{-5}\) rad/s

Jari-jari orbit satelit = jari-jari bumi + ketinggian orbit

\(R = 6.371 + 35.796 = 42.347 km = 42.347.000\) m

Kecepatan tangensial

\(v = \omega R = (7,27 \times 10^{-5}) \times 42.347.000\)

\(= 3.079\) m/s

Bandingkan dengan data di website sebesar 3,07 km/s = 3.070 m/s (hampir sama).

\(a_s = \omega^2 R = (7,27 \times 10^{-5})^2 \times 42.347.000\)

\(= 0,22\) m/s²

Soal 8) Maskapai penherbagnagn Australia, Qantas melakukan penerbangan mkomerisial nonstop terjaduh dari London ke Sydney. Penerbangan dengan nomor QF789 melakukan penerbangan langsung selama 19 jam 19 menit menggunakan pesawat Airbus A350. Jarak yang ditempuh adalah 17.800 km. Tetapio dengan menggunakan Google Map, jarak tersebut adalah 17.013 km. Perbedan jarak terjadi karena selama perjalanan, kadang pesawat harus membelok arah sehingga lebih jauh. Jika kita gunakan data Google Map, berapa laju tangensial rata-raat pesawat dan berapa kecepatan sudut pergerakan pesawat? Catatan: ketinggian jelajah pesawat dari permukaan bumi sekitar 10 km.

Jawab

\(s = 17.013\) km \(= 17.013.000\) m

\(t = 19\) jam 1\(9\) menit \(= 19 x 3.600 + 19 x 60 = 69.540\) s

\( v = s/t = 17.013.000/69.540 = 245\) m/s

Jari-jari lintasna pesawat = jari-jari bumi + ketinggian pesawat

\( R = 6.371 + 10 = 6.381\) km

\( =6.381.000\) m

Kecepatan sudut pesawat

\(\omega = v/R = 245/6.381.000 = 3,9 \times 10^{-5}\) rad/s

Soal 9) Satelit GPS mengornit bumi pada ketinggian 20.201 km dari permukaan bumi. Kecepatan tangensial satelit adalah 3,87 km/s. Tentukan

a) Periode orbit satelit

b) Percepatan sentripetal satelit

Jawab

Jari-jari orbit satelit

\(R = 6.371 + 20.201 = 26.572\) km \(= 26.572.000\) m

Keliling orbit

\(K = 2 \pi R = 2 \pi \times 26.572.000\)

\(= 1,7 \times 10^8\) m

Kecepatan tangensial satelit

\(v = 3,87\) km/s \(= 3.870\) m/s

Periode orbit satelit

\(T = K/v = (1,7 \times 10^8)/3.870\)

\(= 43.928\) s

\(a_s = v^2/R = (3.870)^2/(1,7 \times 10^8)\)

\(= 0,088\) m/s²

Soal 10) Mobil Toyota Fortuner menggunakan ban dengan ukuran 265/60/R18. Maksudnya adalah

Lebar ban = 265 mm = 26,5 cm.

R18 artinya diameter rim = diameter pelk = 18 inci = 18 x 2,54 cm = 45,72 cm

Jari-jari pelk = 45,72/2 = 22,86 cm

Tebal ban = 60% x lebar = 0,6 x 2,65 cm = 15,9 cm

Jari-jari ban = 22,86 + 15,9 = 38,76 cm = 0,3876 m

Mobil tersebut meluncur di jalan tol dengan laju 80 km/jam sejauh 50 km. Tentukan

a) Kecepatan tangensial roda

b) Kecepatan sudut roda

c) Jumlah putaran roda selama perjalanan

Jawab

Kecepatan tangensial roda = kecepatan mobil

\(v = 80\) km/jam \(= 80.000/3.600 = 22,2\) m/s

Kecepatan sudut ban

\(\omega = v/r = 22,2/0,3876 = 57,3\) rad/s

Keliling ban

\(K = 2 \pi r = 2 \pi \times 0,3876 = 2,44\) m.

Jumlah putaran roda

\( n \) = jarak tempuh/keliling

\(= 50.000/2,44 = 20.492\) kali

Soal 11) Piringan hard disk yang memiliki ukuran 3,5 inci berputar dengan kecepatan sudut 7200 rpm.

a) Tentukan frekuekusi putaran piringan tersebut dalam hert dan rad/s

b) Hitung kecepatan tangensial posisi di tepi piringan dan pada pisisi setengah jari-jari dari sumbu putar

Jawab

R = 3,5 inci = 3,5 x 0,0254 m = 0,0889 m.

dalam 1 menit : 7200 putaran

dalam 1 detik: 7200/60 = 120 putaran

jadi frekuensi putaran f = 120 hertz

Kecepatan sudut

\( \omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 120\)

\(= 754\) rad/s

Kecepatan tangensial di tepi

\(v = \omega r = 754 \times 0,0889 = 67\) m/s

Kecepatan tangensial pada jarak setengah jari-jari

\(v = \omega r/2 = 754 \times 0,0889/2 = 33,5\) m/s

Soal 12) Singapore flyer memiliki diameter 150 m dan memiliki 28 kursi yang berada di tepi. Laju tangensial kursi adalah 0,24 m/s. Tentukan periode dan percepatan sudut flyer tersebut.

Jawab

Diberikan \(r = 150/2 = 75\) m

\(v = 0,24\) m/s

\(\omega = v/r = 0,25/75 = 0,0032\) rad/s

\(\omega = {{2 \pi} \over T}\)

\(0,0032 = {{2 \pi} \over T}\)

\(T = {{2 \pi} \over 0,0032} = 1.963\) s

Soal 13) Perhatikan video berikut. Dua silinder masing-masing dengan jari-hari 1,5 m dan 3 m tepat beringgungan. Putaran salah satu silinder menyebabkan silinder lainnya itu berputar. Jika silinder pertama berotasi dengan kecepatan sudut 2,5 rad/s, berapa kecepatan sudut silinder kedua?

Jawab

Karena dua silinder bersinggungan maka kecepatan tangensial permukaan sama.

\(v = \omega_1 R_1\)

Kecepatan sudut silinder kedua

\( \omega_2 = v/R_2 = \omega_1 {R_1 \over R_2}\)

\(= 2,5 \times {1,5 \over 3} = 1,25\) rad/s

14) Amati video berikut. Lintasan berbentuk spiral terdiri dari 4 silklus. Jari-jari lintasan adalah 2,5 m dan sudut kemiringan lintsan adalah 30^o. Jika bola memerlukan waktu 20 detik untuk bergerak dari ujung atas sampai ujung bawah lintasan. Hitung

a) Kecepatan sudut rotasi terhadap sumbu di tengah lintasan

b) Kecepatan tangensial bola sepanjang lintasan

Jawab

Lihat ilustrasi berikut.

Jumlah lintasan penuh ada 4 sehingga total sudut putaran \(= 4 \times 2 \pi = 8 \pi\)

Lama waktu 20 s

Kecepatan sudut

\( \omega = 8 \pi/20 = 1,26\) rad/s.

Kalau lintasan tidak mining maka kecepatan tangensial adalah

\( v = \omega r = 1,26 \times 2,5\)

\(= 3,15\) m/s

Tetapi, karena lintasan mirig, maka laju menjadi lebih besar, yaitu

\(u = v/\sin 30^o = 3,15/(1/2) = 6,3\) m/s

Soal 15) Tentukan kecepatan sudut utaran jarum detik, jarum menit, dan jarum jam pada sebuah jam dinding.

Jawab

Jarum detik melakukan satu putaran penuh selama wakru 1 menit. Maka kecepatan sudut

\(\omega = 2 \pi/60 = 0,105\) rad/s

Jarum menit melakukan satu putaran penuh dalamw aktu satu jama. Kecepatan sudut

\(\omega = 2 \pi/3.600 = 0,00175\) rad/s

Jarum jam melakukanm satu putaran penuh dalam waktu 12 jam. Kecepatan sudut

\(\omega = 2 \pi/(12 \times 3.600) = 0,000145\) rad/s

Soal 16) Sudut yang dibentuk benda yang melakukan gerak melingkar berubah beraturan memenuhi persamaan

\(\theta (t) = 0,5 + 0,4 t + 2 t^2\) rad

a) Tentukan sudut awal (saat t=0)

b) Tentukan kecepatan sudut awal

c) Tentukan percepatan sudut

d) Tentukan kecepatan sudut rata-rata antara t = 0 s smpai t = 2 s

e) Tentukan percepatan sudut rata-rata antara t=2 s sampai t = 6 s

Jawab

Persamaan umum gerak melingkar berubah beraturan adalah

\(\theta = \theta_0 + \omega_0 t + (1/2) \alpha t^2\)

Jika kita bandingkan dengan persamaan yang diberikan di soal maka

\(\theta_0 = 0,5\) rad

\( \omega_0 = 0,4\) rad/s

\((1/2) \alpha = 2\)

atau

\(\alpha = 4\) rad/s2

Sudut saat t = 0, \(\theta (0) = 0,5\) rad

Sudut saat t = 2 s, \(\theta (2) = 0,5 + 0,4 \times 2 + 2 \times 2^2 = 9,3\) rad

Kecepatan sudut rata-rata

\(\omega_r = (\theta (2) – \theta (0))/(2-0)\)

\(= (9,3 – 0,5)/2 = 4,4\) rad/s

Sudut saat t = 2 s, \(\theta (2) = 0,5 + 0,4 \times 2 + 2 \times 2^2 = 9,3\) rad

Sudut saat t = 6 s, \(\theta (2) = 0,5 + 0,4 \times 6 + 2 \times 6^2 = 74,9\) rad

Keceatan sudut rata-rata

\(\omega_r = (\theta (6) – \theta (2))/(6-2)\)

\(= (74,9 –9,3)/4 = 16,4\) rad/s

Level 4: Menganalisis

Soal 1) Perhatikan video berikut ini. Jika periode rotasi bola adalah T, berapakah periode rotasi cincin agar bola bisa melewati cincin (tidak tertahan oleh cincin)?

Jawab

Bola lolos jika tepat bola kembali ke posisi awal jika:

a) Cincin tepat berputar ½ putaran. Maka periode cincin adalah 2T.

b) Cincin tepat berputar 1 putaran. Maka periode cincin adalah T.

c) Cincin tepat berputar 3/2 putaran. Maka periode cincin adalah (2/3)T.

d) Cincin tepat berputar 2 putaran. Maka periode cincin adalah (1/2)T.

dan seterusnya.

Soal 2) Perhatikan video berikut. Sejumlah bola bergerak dengan laju konstan 5 m/s dan memasuki cincin yang berputar. Jarak antara bola bergedakan adalah 2 m. Berapa periode rotasi cincin agar bola selalu lolos cincin?

Jawab

Selang waktu dua bola berurutan mancapai cincin adalah

\(t = \)jarak/laju \(= 2/5 = 0,4\) s.

Bola lolos apabila

a) Saat bola kedua mencapai cincin, maka cincin sudah berputar setengah putaran. Jadi periode putaran cincin memenuhi \(T/2 = 0,4\) atau \(T = 0,8\) s.

b) Saat bola kedua mencapai cincin maka cincin sudah berputar satu putaran penuh. Jadi \(T = 0,4\) s

c) Saat bola kedua mencapai cincin maka cincin sudah berputar 3/2 putaran. Jadi \((3/2)T = 0,4\) s atau \(T = 0,27\) s

d) Saat bola kedua mencapai cincin maka cincin sudah berputar 2 putaran penuh. Jadi \(2T = 0,4\) s atau \(T = 0,2\) s

dan seterusnya

Soal 3) Perhatikan video berikut ini. Benda A dilepaskan dari keadaan diam pada sudut kemiringan 45o kemudian menumbuk benda B dengan kecepatan sudut 2,5 rad/s. Benda B kemudian bergerak melingkar beraturan pada lintasan setengah lingkaran dengan jari-jari 1,5 m. Benda mencapai ujung lintasan dalam waktu 1 s. Tentukan

a) Percepatan sudut benda A

b) Kecepatan linier dan kecepatan sudut benda B

Jawab

\(\theta = 45^o = (45^o/1806o) \times \pi = \pi /4\) rad

\(\omega^2 – \omega_0^2 = 2 \alpha \theta\)

\(2,5^2 – 0 = 2 \alpha \times (\pi/4)\)

\(\alpha = 4,5\) rad/s²

Keliling lintasan setengah lingkaran

\(K = \pi r = \pi \times 1,5 = 4,7\) m

Kecepatan tangensial benda B

\(v = K/t = 4,7/0,9 = 5,2\) m/s

Kecepatan sudut benda B

\(\omega = v/r = 5,2/1,5 = 3,5\) rad/s

Soal 4) Video berikut memperlihatkan bola yang melakukan gerak melingkar berubag beraturan. Waktu yang diperlulan untukmelakukan satu putaran penuh adalah 4 s. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu

Jawab

Persamaan umum gerak melingkar berubah beraturan

\(\theta = \theta_0 + \omega_0 t + (1/2) \alpha t^2\)

Dari video kita simpulkan

\(\theta_0 = 0\)

\(\omega_0 = 0\)

Jadi

\(\theta = (1/2) \alpha t^2\)

Saat melakukan satu lintasan penuh

\(2 \pi = (1/2) \alpha \times 4^2\)

Maka \(\alpha = \pi/4\).

Persamaan sudut menjadi

\(\theta (t) = (\pi/8) t^2\)

Level 5: Mengevaluasi

Soal 1) Perhatikan video berikut ini. Sebuah mobil kayu. didorong dengan baling-baling. Laju mobil bergantung pada kecepatan sudut putar baling-baling. Untuk menentukan hubungan antara laju mobil dan kecepatan sudut baling-baling, tiga percobaan dilakukan seperti pada Tabel berikut.