“Teori Fisika” Mengejar Ayam atau Dikejar Ayam

Ini adalah contoh video orang dikejar ayam dan orang mengejar ayam [1]

Adakah “hukum Fisika” nya?

Kita misalkan petani mengejar ayam. Posisi petani dan ayam dinyatakan dalam vektor \( \overrightarrow{r}_{f} \)  dan \( \overrightarrow{r}_{c} \) . Posisi ayam relatif terhadap petani adalah \(   \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_{c}-\overrightarrow{r}_{f} \) . Vektor satuan yang menghubungkan petani ke arah ayam adalah

\( \hat{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\hat{i}\cos  \theta +\hat{j}\sin  \theta  \)

dengan \( \theta  \)  adalah sudut yang dibentuk vektor ini dengan arah horisontal.

Kita asumsikan bahwa petani selalu bergerak menuju ayam mengikuti arah vektor ini. Jika laju petani menuju ayam adalah \( v_{f} \)  dan kita asumsikan nilainya adalah konstan maka vektor kecepatan petani memenuhi persamaan

\( \overrightarrow{v}_{f}=v_{f}\hat{r} =v_{f} ( \hat{i}\cos  \theta +\hat{j}\sin  \theta )  \)

Ketika petani mendekati ayam, maka ayam akan bergerak dengan arah sembarang. Arah yang diambil ayam tidak selalu sama dengan arah \( \hat{r} \) . Misalkan ayam bergerak dengan arah yang membentuk sudut \( \varphi  \)  terhadap vektor \(  \hat{r} \) . Vektor satuan arah gerak ayam menjadi

\( \hat{r}^{‘}=\hat{i}\cos  \left(  \theta + \varphi  \right) +\hat{j}\sin  \left(  \theta + \varphi  \right)  \)

Kecepatan ayam menjadi

\( \overrightarrow{v}_{c}=v_{c}\hat{r}^{‘}=v_{c} \left[ \hat{i}\cos  \left(  \theta + \varphi  \right) +\hat{j}\sin  \left(  \theta + \varphi  \right)  \right]  \)

Laju ayam sangat bergentung pada jarak ayam tersebut terhadap petani. Laju tersebut makin kecil jika jarak ayam terhadap petani makin besar. Ayam yang bergerak menjauhi petani akan mengurangi laju ketika jarak dengan petani sudah sangat jauh. Kadang ayam berhenti berlari jika jarak petani sudah sangat jauh. Untuk menentukan laju ayam, kita asumsikan persamaan berikut

\( v_{c} \left( r \right) =\frac{2v_{c}}{1+\exp  \left(  \gamma r \right) } \)

di mana \( \gamma  \)  adalah kontanta. Tampak dari persamaan ini bahwa jika jarak ayam dengan petani hampir nol maka  \( v_{c} \left( 0 \right) =v_{c} \) . Sebaliknya, jika jarak ayam dari petani sangat jauh maka  \( v_{c} \left( \infty \right) =0 \).

Kita bermaksud mencari evolusi jarak petani ke ayam dengan menyelesaikan persamaan-persaman di atas. Solusi secara analitik sangat sulit dilakukan. Maka kita akan melakukan pencarian solusi secara numerik. Pada selang waktu \( \Delta t \)  beriktunya, posisi petani maupun ayam berubah menjadi

\( \overrightarrow{r}_{f} \left( t+ \Delta t \right) =\overrightarrow{r}_{f} \left( t \right) +\overrightarrow{v}_{f} \Delta t \)

\( \overrightarrow{r}_{c} \left( t+ \Delta t \right) =\overrightarrow{r}_{c} \left( t \right) +\overrightarrow{v}_{c} \Delta t \)

Jika kita nyatakan dalam komponen-komponen koordinat x dan y maka kita peroleh

\( x’_{f}=x_{f}+\hat{i}.\overrightarrow{v}_{f} \Delta t=x_{f}+v_{f} \Delta t\cos  \theta  \)

\( y’_{f}=y_{f}+\hat{j}.\overrightarrow{v}_{f} \Delta t=y_{f}+v_{f} \Delta t\sin  \theta  \)

\( x’_{c}=x_{c}+\hat{i}.\overrightarrow{v}_{c} \Delta t=x_{f}+v_{c} \Delta t\cos  \left(  \theta + \varphi  \right)  \)

\( y’_{c}=y_{c}+\hat{j}.\overrightarrow{v}_{c} \Delta t=y_{c}+v_{c} \Delta t\sin  \left(  \theta + \varphi  \right)  \)

Vektor yang menguhungkan petani dan ayam setelah selang waktu  \( \Delta t \)  menjadi

\( \overrightarrow{r}^{‘}=\overrightarrow{r}’_{c}-\overrightarrow{r}’_{f}=\hat{i} \left( x^{‘}_{c}-x^{‘}_{f} \right) +\hat{j} \left( y^{‘}_{c}-y^{‘}_{f} \right)  \)

Vektor tersebut membentuk sudut baru  \( \theta ‘ \) terhadap sumbu horisontal yang memenuhi

\( \tan  \theta ‘=\frac{y^{‘}_{c}-y^{‘}_{f}}{x^{‘}_{c}-x^{‘}_{f}}  \)

Untuk mencari lintasan ayam dan petani bada berbagai waktu, kita lekaukukan perhitungan numerik. Untuk tujuan ini kita membuat program iteratif berikut ini. Dari keadaan pada step ke-i  \( ( r_{i}, \theta _{i}, \varphi _{i} ) \)  kita hitung besaran terkait pada step ke-i+1 (setelah selang waktu \( \Delta t \) ) menggunakan persamaan

\( x_{f,i+1}=x_{f,i}+v_{f} \Delta t\cos  \theta _{i} \)

\( y_{f,i+1}=y_{f,i}+v_{f} \Delta t\sin  \theta _{i} \)

\( x_{c,i+1}=x_{c,i}+v_{c} \Delta t\cos  \left(  \theta _{i}+ \varphi _{i} \right) \)

\( =x_{c,i}+v_{c} \Delta t \left( \cos  \theta _{i}\cos  \varphi _{i}-\sin  \theta _{i}\sin  \varphi _{i} \right)  \)

\( y_{c,i+1}=y_{c,i}+v_{c} \Delta t\sin  \left(  \theta _{i}+ \varphi _{i} \right)  \)

\( =y_{c,i}+v_{c} \Delta t \left( \sin  \theta _{i}\cos  \varphi _{i}+\cos  \theta _{i}\sin  \varphi _{i} \right)  \)

Di mana \( \varphi _{i} \)   selalu dipilih secara random.

Kita lakukan pendekatan yang mudah dengan asmumsi ayam mengambil arah relatif terhadap vektor penghubung dengan petati dalam arah random menurut fungsi distribusi berikut ini

\( f \left(  \varphi  \right) =Ae^{- \beta  \vert  \varphi  \vert } \)

Dengan   \(  – \pi  \leq  \varphi  \leq  \pi  \)   . Karena fungsi probabilitas harus ternomalisasi maka

\( \int _{- \pi }^{ \pi }f \left(  \varphi  \right) d \varphi =2A \int _{0}^{ \pi }e^{- \beta  \varphi }d \varphi =1 \)

Jika diselesaikan maka kita peroleh

\( A=\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \)

 

Dan

\( f \left(  \varphi  \right) =\frac{ \beta e^{- \beta  \vert  \varphi  \vert }}{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \)

Kita gunakan metode Monte Carlo sederhan untuk meprediksi sudut yang dipilih oleh ayam. Kita membangkitkan bilangan random  \( R_{1} \)   yang memiliki nilai antara 0 sampai 1 kemudian menentukan sudut yang dipilih ayam, \( \varphi _{0} \)   dengan syarat:

Jika  \( 0 \leq R_{1}<0,5 \)    maka

\( R_{1}= \int _{- \pi }^{ \varphi _{0}}f \left(  \varphi  \right) d \varphi  \)

\( =\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{- \pi }^{ \varphi _{0}}e^{- \beta  \vert  \varphi  \vert }d \varphi  \)

Karena  \( 0 \leq R_{1}<0,5 \)   maka nilai  \( \varphi \)  dalam integral selalu negatif sehingga kita dapat menulis

\( R_{1}=\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{- \pi }^{ \varphi _{0}}e^{ \beta  \varphi }d \varphi  \)

\( =\frac{e^{ \beta  \varphi _{0}}-e^{- \beta  \pi }}{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \)

Dengan demikian, kita dapatkan

\( \varphi _{0}=\frac{1}{ \beta }\ln  \left[ 2R_{1} \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) +e^{- \beta  \pi } \right]  \)

Sebaliknya, jika  \( 0,5 \leq R_{1} \leq 1 \)   maka

\( R_{1}= \int _{- \pi }^{ \varphi _{0}}f \left(  \varphi  \right) d \varphi  \)

\( =\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{- \pi }^{ \varphi _{0}}e^{- \beta  \vert  \varphi  \vert }d \varphi  \)

 

\( =\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{- \pi }^{0}e^{- \beta  \vert  \varphi  \vert }d \varphi +\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{0}^{ \varphi _{0}}e^{- \beta  \vert  \varphi  \vert }d \varphi  \)

\( =\frac{1}{2}+\frac{ \beta }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \int _{0}^{ \varphi _{0}}e^{- \beta  \varphi }d \varphi  \)

\( =\frac{1}{2}+\frac{ \left( 1-e^{- \beta  \varphi _{0}} \right) }{2 \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right) } \)

Dengan demikian

\( \varphi _{0}=-\frac{1}{ \beta }\ln  \left[ 1-2 \left( R_{1}-1/2 \right)  \left( 1-e^{- \beta  \pi } \right)  \right]  \)

Ini contoh video animasi dengan menggunakan program berikut ini.

*****

Berikut adalah program visual basic yang dapat langsung dicopy di macro

Sub Kejarayam()

   Dim sp As Shape

‘

   For Each sp In ActiveSheet.Shapes

       sp.Delete

   Next sp

‘

   kali = 100

   d1 = 20

   d2 = 10

   x0 = 100

   y0 = 200

‘

‘  Parameter input

‘

   pi1 = 3.141592654 / 4

   beta1 = pi1 / 5

   gamma1 = 0.05

   vf = 1#

   eta1 = 0.9

   vc0 = eta1 * vf

‘

‘  Posisi awal

‘

   xc1 = 2

   yc1 = 0

   xf1 = 0

   yf1 = 0

‘

   pjg = ((xc1 – xf1) ^ 2 + (yc1 – yf1) ^ 2) ^ 0.5

   vc = 2 * vc0 / (1 + Exp(gamma1 * pjg))

   ctet1 = (xc1 – xf1) / pjg

   stet1 = (yc1 – yf1) / pjg

‘

   dt = 0.05

   i = 1

   Do

      i = i + 1

      r1 = Rnd()

      If r1 < 0.5 Then

         phi0 = (1 / beta1) * Log(2 * r1 * (1 – Exp(-beta1 * pi1)) + Exp(-beta1 * pi1))

      Else

         phi0 = (-1 / beta1) * Log(1 – 2 * (r1 – 0.5) * (1 – Exp(-beta1 * pi1)))

      End If

‘

      xc2 = xc1 + vc * dt * (ctet1 * Cos(phi0) – stet1 * Sin(phi0))

      yc2 = yc1 + vc * dt * (atet1 * Cos(phi0) + ctet1 * Sin(phi0))

‘

      xf2 = xf1 + vf * dt * ctet1

      yf2 = yf1 + vf * dt * stet1

‘

      pjg = ((xc2 – xf2) ^ 2 + (yc2 – yf2) ^ 2) ^ 0.5

      vc = 2 * vc0 / (1 + Exp(gamma1 * pjg))

‘

      xc1 = xc2

      yc1 = yc2

      xf1 = xf2

      yf1 = yf2

‘

      ctet1 = (xc1 – xf1) / pjg

      stet1 = (yc1 – yf1) / pjg

‘

      If i > 2 Then

          Sheet1.Shapes(“tani”).Delete

          Sheet1.Shapes(“ayam”).Delete

      End If

‘

      Set sp = Sheet1.Shapes.AddShape(msoShapeOval, x0 + kali * xf1, y0 + kali * yf1, d1, d1)

          sp.Name = “tani”

      Set sp = Sheet1.Shapes.AddShape(msoShapeOval, x0 + kali * xc1, y0 + kali * yc1, d2, d2)

          sp.Name = “ayam”

      DoEvents

      tunggu (0.1)

  Loop Until pjg < (d1 / 2 + d2 / 2) / kali

End Sub

Sub tunggu(durasi As Double)

   awal = Timer

   Do

      DoEvents

   Loop Until (Timer – awal) >= durasi

End Sub

**********

Sumber video [1] dan gambar fitur: ‘https://www.youtube.com/watch?v=LMFdH0wdjeI&t=186s