251: Fisika SMA: Operasi Trigonometri Menggunakan Diagram Fasor

Sekarang kita akan mencari hasil penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri dengan menggunakan diagram fasor. Akan terlihat bahwa yang kita cari nanti ternyata hanyalah proses penjumlahan dan pengurangan vektor seperti yang telah kita pelajari sebelumnya.

Contonya, kita akan menjumlahan dua buah fungsi trigonometri

\( V_1 = A_1 \cos (\omega t) \)

\( V_2 = A_2 \cos (\omega t + \phi_0) \)

Kita akan mencari fungsi \( V = V_1 + V_2 \).

Yang pertama kali yang akan kita lakukan adalah menggambarkan \( V_1 \) dan \( V_2 \) dalam diagram fasor. Karena ke dua fungsi trigonometri di atas memiliki salah satu komponen fase yang sama yaitu \( \omega t \), maka akan sangat tertolong apabila kita pilih sumbu datar memiliki fase \( \omega t \). Akibatnya, fungsi \( V_1 \) digambarkan sebagai vektor yang searah sumbu datar dan fungsi \( V_2 \)  digambarkan sebagai vektor yang membentuk sudut \( \phi_0 \) terhadap sumbu datar. Diagram fasornya tampak pada Gambar 251.1.

Kemudian kita melakukan penjumlahan dua fungsi. Caranya persis menjumlahkan dua buah vektor. Kita sudah bahas pada bagian awal tentang cata penjumlahan dua vektor tersebut. Langkah umum yang kita lakukan adalah mencari panjang masing-masing komponen dan \( V \). Untuk mudahnya, kita geser \( V_2 \) sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung \( V_1 \). Lihat Gambar 251.2. Penggeseran tersebut tidak mengubah vektor asal panjang dan arahnya tidak diubah.

Yang akan kita cari adalah amplitudo total , \( A \) dan sudut yang dimiliki fungsi \( V \) terhadap arah horisontak, yaitu \( \beta_0 \). Jelas dari Gambar 251.2 bahwa

\( A_x = A_1 + A_2 \cos \phi_0 \)

\( A_y = A_2 \sin \phi_0 \)

\( A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \)

\( \tan \beta_0 = {A_y \over A_x} \)

Dari empat persaman di atas kita dapatkan \( A \) dan \( \beta_0 \). Dari sini kita dapatkan bentuk lengkap dungsi \( V \). Karena sumbu datar sudah diberikan fase \( \omega t \) mama fase untuk \( V \) adalah fase sumbu datar ditambah \( \beta_0 \). Jadi, fungsi hasil penjumlahan adalah

\( V = A \cos (\omega t + \beta_0) \)

—— Sebuah contoh ——

Mari kita lihat satu contoh berikiut ini. Dua fungsi trigonometri masing-masing berbentuk

\( V_1 = 10 \sin (\omega t – \pi/3) \)

dan

\( V_2 = 6 \cos (\omega t + \pi/4) \)

Kita ingin menentukan hasil penjumlahan dua fungsi tersebut.

Sama dengan sebelumnya, kita pilih sumbu datar memiliki fase \( \omega t \). Maka fungsi \( V_1 \) membentuk sudut \( -\pi/3 \) dan fungsi \( V_2 \) membentuk sudut \( +\pi/4 \). Gambar 251.3 adalah diagram fasor fungsi-fungsi tersebut.

Komponen x dan y hasil penjumlahan adalah

\( A_x = A_1 \cos (-\pi/3) + A_2 \cos (\pi/4) \)

\( = 10 \times 0,5 + 6 \times 0,707 = 9,243 \)

\( A_y = A_1 \sin (-\pi/3) + A_2 \sin (\pi/4) \)

\( = 10 \times (-0,866) + 6 \times 0,707 = -4,418 \)

Amplitudo hasil penjumlahan

\( A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9,243^2 + (-4,418)^2} \)

\( = 10,245 \)

Sudut terhadap arah horisontal memenuhi

\( \tan \beta_0 = {A_y \over A_x} = {{-4,418} \over {9,243}} \)

\( = -0,478 \)

Dengan demikian

\( \beta_0 = -0,446 \) rad.

Akhirnya, fungsi penjumlahan adalah

\( V = 10,245 \cos (\omega t – 0,446) \)